Calcul et construction des ailes
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Calcul et construction des ailes
par enrimores Lun 25 Aoû - 15:21
Rappel : Disposition des ailes
♦ Aile monoplan :
Elle peut être haute (haubanée ou cantilever, c'est à dire sans haubans) médiane ou basse :
L’aile haute nécessite un train de grande taille et des haubans qui augmentent la traînée;
L’aile basse réduit la visibilité vers le bas et demande de larges raccordements d'aile pour régulariser l'écoulement de l'air à l'emplanture.
♦ Aile biplan :
Elle nécessite aussi un train de grande taille et des haubans qui augmentent la traînée;
♦ Forme de l’aile :
- Aile rectangulaire : c’est la plus simple à construire. Toutes les nervures sont identiques.
- Aile trapézoïdale ou triangulaire : ce type d’aile confère une meilleure aérodynamique mais est plus difficile à construire.
- Dièdre : il faut au moins 10% de dièdre aux ailes, soit une aile relevée de 6°.
- Allongement : 5 à 7 au minimum (sauf pour la formule Mignet) mais pas plus de 10. En effet, la polaire s’améliore sensiblement en fonction de l’allongement, mais pour un grand allongement le longeron s’alourdit et les efforts de flexion s’accroissent.
- Vrillage : Un léger vrillage de l’extrémité de l'aile (6 à 7°) diminue la traînée induite (tourbillon marginal) et améliore les qualités de décrochage.
♦ Surface alaire :
En se reportant aux calculs aérodynamiques qui précèdent, on trouve une Surface alaire moyenne de l’ordre de 40 kg par m2. ( comprise entre 30 et 60 kg par m2 )
♦ Surface des ailerons :
Elle doit être en moyenne de 10% de la surface alaire. Leur efficacité dépend du poids de l'avion et de la vitesse, mais surtout du produit
l1 x s1
où,
l1 (m) = distance centre de l'aileron / axe de l'avion
s1 (m2) = surface des ailerons
Pour un avion de 500 à 600 kg qui vole entre 120 et 200 km/h, l1 x s1 doit varier de 6 à 4.
8.1 Choix et tracé du profil d’aile
8.1.1 Le catalogue NACA : Epaisseur, Cotes et Polaire de profil
Nous donnons ci-dessous quelques exemples de profils NACA utilisés le plus couramment pour les avions de tourisme. Ils sont tous tirés du livre Theory of Wing Section d’Abbott & Von Doenhoff, Editions : Dover Publications Inc. New York.
Utilisation du catalogue NACA :
Epaisseur du profil
Dans le catalogue NACA, les deux derniers chiffres indiquent l’épaisseur maximum du profil en pourcentage de la corde. Par exemple, le profil 23012 peut accepter deux longerons, mais un 23009, très peu épais, ne peut en avoir qu’un seul. Enfin un 23015 est assez épais pour y placer les réservoirs.
Cotes du profil
Dans tous les catalogues de profils d’ailes (y compris le catalogue NACA), les cotes sont données en pourcentage de la corde (profondeur d’aile) supposée = 100. Pour une corde de longueur quelconque il suffit donc de multiplier les valeurs du tableau NACA par une constante. Par exemple, pour une corde de 1465mm il faut multiplier les cotes par 1465/100 = 14,65
Les ordonnées des profils sont toujours données par rapport à la ligne de référence :
La ligne de référence (fig. André Morin)
avec,
y1 (ou yU) = ordonnée extrados (U = Upper : au-dessus de la ligne de référence)
y2 (ou yL) = ordonnée intrados (L = Lower : au-dessous de la ligne de référence)
x = distance du bord d’attaque, en % de la corde.
r = rayon du bord d’attaque en % de la corde
Polaire de profil
A chaque profil d'aile est associée sa Polaire de profil, qui donne, pour différents angles d'incidence de vol usuels, ses caractéristiques aérodynamiques mesurées en soufflerie :
• Coefficient de Portance 100.Cz
• Coefficient de Traînée 100.Cx
• Coefficient de Tangage 100.Cm
Les valeurs indiquées sont valables pour un avion léger ayant un allongement moyen λ = 6 et un nombre de Reynolds moyen Nr = 4,5x106 (avion volant à 160km/h soit 44,5m/s, dont la corde l = 1,465m.)
avec,
V = vitesse de l'avion en m/s
l = longueur dans le sens de V
ν = coefficient de viscosité de l'air = 145x10-7 à 15°C et 1 bar
Pour une portance Cz constante, si l’on passe d’un allongement λ1 à un autre λ2 la traînée Cx varie :
De même, l’incidence i :
Si le nombre de Reynolds Nr augmente de 3 à 7x106 la portance Cz s’améliore du côté des valeurs supérieures de la courbe et la traînée Cx diminue du côté des valeurs les plus faibles :
• 100.Cz maxi augmente de 13% environ
• 100.Cx mini diminue de 10% environ
8.1.2 Exemples de profils : non porteur, porteur, autostable
Les profils non porteurs (symétriques)
Les profils non porteurs plats et symétriques ont une faible traînée. Ils sont adaptés pour les empennages (stabilisateurs et direction) :
Profil symétrique non porteur (fig. André Morin)
Le tableau ci-dessous donne le rayon r du bord d'attaque, des profils non porteurs suivants :
• Profil NACA 0010 (épaisseur maxi. 10% de la corde)
• Profil NACA 0012 (épaisseur maxi. 12% de la corde)
• Profil NACA 0013 (épaisseur maxi. 13% de la corde)
Les profils porteurs
La géométrie du profil d’aile dépend de sa fonction : Pour les ailes, on utilise des profils porteurs en général non symétriques (NACA 23012), à double courbure (NACA 23112) et parfois cambrés pour les ULM à vitesse lente (exemple : Profil NACA 4412, 12% de la corde cambré).
Les trois tableaux ci-dessous décrivent les profils porteurs 23009, 23012 et 23015 :
• Profil NACA 23009 (épaisseur maxi. 9% de la corde)
• Profil NACA 23012 (épaisseur maxi. 12% de la corde)
• Profil NACA 23015 (épaisseur maxi. 15% de la corde)
(Voir aussi les "Profils NACA" dans "Theory of wing sections")
♦ Aile monoplan :
Elle peut être haute (haubanée ou cantilever, c'est à dire sans haubans) médiane ou basse :
L’aile haute nécessite un train de grande taille et des haubans qui augmentent la traînée;
L’aile basse réduit la visibilité vers le bas et demande de larges raccordements d'aile pour régulariser l'écoulement de l'air à l'emplanture.
♦ Aile biplan :
Elle nécessite aussi un train de grande taille et des haubans qui augmentent la traînée;
♦ Forme de l’aile :
- Aile rectangulaire : c’est la plus simple à construire. Toutes les nervures sont identiques.
- Aile trapézoïdale ou triangulaire : ce type d’aile confère une meilleure aérodynamique mais est plus difficile à construire.
- Dièdre : il faut au moins 10% de dièdre aux ailes, soit une aile relevée de 6°.
- Allongement : 5 à 7 au minimum (sauf pour la formule Mignet) mais pas plus de 10. En effet, la polaire s’améliore sensiblement en fonction de l’allongement, mais pour un grand allongement le longeron s’alourdit et les efforts de flexion s’accroissent.
- Vrillage : Un léger vrillage de l’extrémité de l'aile (6 à 7°) diminue la traînée induite (tourbillon marginal) et améliore les qualités de décrochage.
♦ Surface alaire :
En se reportant aux calculs aérodynamiques qui précèdent, on trouve une Surface alaire moyenne de l’ordre de 40 kg par m2. ( comprise entre 30 et 60 kg par m2 )
♦ Surface des ailerons :
Elle doit être en moyenne de 10% de la surface alaire. Leur efficacité dépend du poids de l'avion et de la vitesse, mais surtout du produit
l1 x s1
où,
l1 (m) = distance centre de l'aileron / axe de l'avion
s1 (m2) = surface des ailerons
Pour un avion de 500 à 600 kg qui vole entre 120 et 200 km/h, l1 x s1 doit varier de 6 à 4.
8.1 Choix et tracé du profil d’aile
8.1.1 Le catalogue NACA : Epaisseur, Cotes et Polaire de profil
Nous donnons ci-dessous quelques exemples de profils NACA utilisés le plus couramment pour les avions de tourisme. Ils sont tous tirés du livre Theory of Wing Section d’Abbott & Von Doenhoff, Editions : Dover Publications Inc. New York.
Utilisation du catalogue NACA :
Epaisseur du profil
Dans le catalogue NACA, les deux derniers chiffres indiquent l’épaisseur maximum du profil en pourcentage de la corde. Par exemple, le profil 23012 peut accepter deux longerons, mais un 23009, très peu épais, ne peut en avoir qu’un seul. Enfin un 23015 est assez épais pour y placer les réservoirs.
Cotes du profil
Dans tous les catalogues de profils d’ailes (y compris le catalogue NACA), les cotes sont données en pourcentage de la corde (profondeur d’aile) supposée = 100. Pour une corde de longueur quelconque il suffit donc de multiplier les valeurs du tableau NACA par une constante. Par exemple, pour une corde de 1465mm il faut multiplier les cotes par 1465/100 = 14,65
Les ordonnées des profils sont toujours données par rapport à la ligne de référence :
La ligne de référence (fig. André Morin)
avec,
y1 (ou yU) = ordonnée extrados (U = Upper : au-dessus de la ligne de référence)
y2 (ou yL) = ordonnée intrados (L = Lower : au-dessous de la ligne de référence)
x = distance du bord d’attaque, en % de la corde.
r = rayon du bord d’attaque en % de la corde
Polaire de profil
A chaque profil d'aile est associée sa Polaire de profil, qui donne, pour différents angles d'incidence de vol usuels, ses caractéristiques aérodynamiques mesurées en soufflerie :
• Coefficient de Portance 100.Cz
• Coefficient de Traînée 100.Cx
• Coefficient de Tangage 100.Cm
Les valeurs indiquées sont valables pour un avion léger ayant un allongement moyen λ = 6 et un nombre de Reynolds moyen Nr = 4,5x106 (avion volant à 160km/h soit 44,5m/s, dont la corde l = 1,465m.)
 |
avec,
V = vitesse de l'avion en m/s
l = longueur dans le sens de V
ν = coefficient de viscosité de l'air = 145x10-7 à 15°C et 1 bar
Pour une portance Cz constante, si l’on passe d’un allongement λ1 à un autre λ2 la traînée Cx varie :
De même, l’incidence i :
Si le nombre de Reynolds Nr augmente de 3 à 7x106 la portance Cz s’améliore du côté des valeurs supérieures de la courbe et la traînée Cx diminue du côté des valeurs les plus faibles :
• 100.Cz maxi augmente de 13% environ
• 100.Cx mini diminue de 10% environ
8.1.2 Exemples de profils : non porteur, porteur, autostable
Les profils non porteurs (symétriques)
Les profils non porteurs plats et symétriques ont une faible traînée. Ils sont adaptés pour les empennages (stabilisateurs et direction) :
Profil symétrique non porteur (fig. André Morin)
Le tableau ci-dessous donne le rayon r du bord d'attaque, des profils non porteurs suivants :
• Profil NACA 0010 (épaisseur maxi. 10% de la corde)
• Profil NACA 0012 (épaisseur maxi. 12% de la corde)
• Profil NACA 0013 (épaisseur maxi. 13% de la corde)
| • PROFILS NACA 0010, 0012, 0013 |
| • Rayon du bord d’attaque : r ; λ = 6 ; Nr = 6x106 |
| . | 0010 | 0012 | 0013 |
| r | 1,10% | 1,584% | 1,86% |
| x | y | y | y |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1,25 | 1,57 | 1,89 | 2,05 |
| 2,5 | 2,18 | 2,61 | 2,83 |
| 5,0 | 2,96 | 3,55 | 3,85 |
| 7,5 | 3,50 | 4,20 | 4,55 |
| 10 | 3,90 | 4,68 | 5,07 |
| 15 | 4,45 | 5,34 | 5,79 |
| 20 | 4,78 | 5,74 | 6,21 |
| 25 | 4,95 | 5,94 | 6,43 |
| 30 | 5,00 | 6,00 | 6,50 |
| 40 | 4,83 | 5,80 | 6,28 |
| 50 | 4,41 | 5,29 | 5,73 |
| 60 | 3,80 | 4,56 | 4,94 |
| 70 | 2,87 | 3,45 | 3,74 |
| 80 | 1,95 | 2,34 | 2,54 |
| 90 | 1,95 | 1,23 | 1,33 |
| 95 | 0,10 | 0,12 | 0,13 |
| 100 | 0 | 0 | 0 |
Les profils porteurs
La géométrie du profil d’aile dépend de sa fonction : Pour les ailes, on utilise des profils porteurs en général non symétriques (NACA 23012), à double courbure (NACA 23112) et parfois cambrés pour les ULM à vitesse lente (exemple : Profil NACA 4412, 12% de la corde cambré).
Les trois tableaux ci-dessous décrivent les profils porteurs 23009, 23012 et 23015 :
• Profil NACA 23009 (épaisseur maxi. 9% de la corde)
• Profil NACA 23012 (épaisseur maxi. 12% de la corde)
• Profil NACA 23015 (épaisseur maxi. 15% de la corde)
(Voir aussi les "Profils NACA" dans "Theory of wing sections")
| • PROFIL 23009 | • POLAIRE |
| • Rayon du bord d’attaque : r = 0,89% ; λ = 6 ; Nr = 4,5x106 |
| x | Y1 ou YU | Y2 ou YL | i° | 100Cz | 100Cx | 100Cm |
| 0 | 0 | 0 | -4,00 | -20 | 0,98 | -4,70 |
| 1,25 | 2,04 | -0,91 | -1,00 | 0 | 0,57 | +0,80 |
| 2,5 | 2,83 | -1,19 | +1,61 | 20 | 0,825 | 5,65 |
| 5,0 | 3,93 | -1,44 | 4,22 | 40 | 1,65 | 10,50 |
| 7,5 | 4,70 | -1,63 | 6,83 | 60 | 2,73 | 15,40 |
| 10 | 5,26 | -1,79 | 9,39 | 80 | 4,18 | 20,30 |
| 15 | 5,85 | -2,17 | 11,95 | 100 | 6,40 | 25,50 |
| 20 | 6,06 | -2,55 | 14,55 | 120 | 9,00 | 30,70 |
| 25 | 6,11 | -2,80 | 17,04 | 135 | 11,70 | 35,00 |
| 30 | 6,05 | -2,96 | 20,16 | 150 | 15,20 | 38,50 |
| 40 | 5,69 | -3,03 | 20,40 | 131 | 21,00 | 39,90 |
| 50 | 5,09 | -2,86 | . | . | . | . |
| 60 | 4,32 | -2,53 | . | . | . | . |
| 70 | 3,42 | -2,08 | . | . | . | . |
| 80 | 2,41 | -1,51 | . | . | . | . |
| 90 | 1,31 | -0,86 | . | . | . | . |
| 95 | 0,72 | -0,50 | . | . | . | . |
| 100 | 0 | 0 | . | . | . | . |
enrimores- Pilote
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:21
| • PROFIL 23012 | • POLAIRE |
| • Rayon du bord d’attaque : r = 1,58% ; λ = 6 ; Nr = 4,5x106 |
| x | Y1 ou YU | Y2 ou YL | i° | 100Cz | 100Cx | 100Cm |
| 0 | 0 | 0 | -4,15 | -23 | 1,00 | -4,90 |
| 1,25 | 2,67 | -1,23 | -1,05 | 0 | 0,62 | +0,50 |
| 2,5 | 3,61 | -1,71 | +1,66 | 20 | 0,82 | 5,30 |
| 5,0 | 4,91 | -2,26 | 4,32 | 40 | 1,52 | 10,10 |
| 7,5 | 5,80 | -2,61 | 6,98 | 60 | 2,78 | 15,10 |
| 10 | 6,43 | -2,92 | 9,64 | 80 | 4,32 | 20,10 |
| 15 | 7,19 | -3,50 | 12,30 | 100 | 6,40 | 25,20 |
| 20 | 7,50 | -3,97 | 14,96 | 120 | 9,10 | 30,30 |
| 25 | 7,60 | -4,28 | 17,61 | 140 | 12,50 | 35,30 |
| 30 | 7,55 | -4,46 | 22,05 | 159 | 20,00 | 44,00 |
| 40 | 7,14 | -4,48 | 22,75 | 130 | 22,50 | 40,00 |
| 50 | 6,41 | -4,17 | . | . | . | . |
| 60 | 5,47 | -3,67 | . | . | . | . |
| 70 | 4,36 | -3,00 | . | . | . | . |
| 80 | 3,08 | -2,16 | . | . | . | . |
| 90 | 1,68 | -1,23 | . | . | . | . |
| 95 | 0,92 | -0,70 | . | . | . | . |
| 100 | 0 | 0 | . | . | . | . |
| • PROFIL 23015 | • POLAIRE |
| • Rayon du bord d’attaque : r = 2,48% ; λ = 6 ; Nr = 4,5x106 |
| x | Y1 ou YU | Y2 ou YL | i° | 100Cz | 100Cx | 100Cm |
| 0 | 0 | 0 | -4,10 | -23 | 1,00 | -4,70 |
| 1,25 | 3,34 | -1,54 | -1,20 | 0 | 0,68 | +0,60 |
| 2,5 | 4,44 | -2,25 | +1,51 | 20 | 0,89 | 5,45 |
| 5,0 | 5,89 | -3,04 | 4,12 | 40 | 1,55 | 10,30 |
| 7,5 | 6,90 | -3,61 | 6,68 | 60 | 2,77 | 15,25 |
| 10 | 7,64 | -4,09 | 9,34 | 80 | 4,30 | 20,25 |
| 15 | 8,52 | -4,84 | 12,05 | 100 | 6,41 | 25,25 |
| 20 | 8,92 | -5,41 | 14,76 | 120 | 9,11 | 30,30 |
| 25 | 9,08 | -5,78 | 17,61 | 140 | 12,55 | 35,20 |
| 30 | 9,05 | -5,96 | 22,45 | 158 | 20,10 | 43,90 |
| 40 | 8,59 | -5,92 | 22,75 | 130 | 22,50 | 38,80 |
| 50 | 7,74 | -5,50 | . | . | . | . |
| 60 | 6,61 | -4,81 | . | . | . | . |
| 70 | 5,25 | -3,91 | . | . | . | . |
| 80 | 3,73 | -2,83 | . | . | . | . |
| 90 | 2,04 | -1,59 | . | . | . | . |
| 95 | 1,12 | -0,90 | . | . | . | . |
| 100 | 0 | 0 | . | . | . | . |
Ci-dessous, voici un exemple de tracé géométrique d'un profil NACA biconvexe asymétrique montrant le cercle tangent au bord d’attaque :
 |
Un profil autostable
Le profil NACA 23112 à double courbure est dit "autostable" car il conserve une très bonne stabilité quel que soit l'angle d'incidence.
Le tableau ci-dessous décrit le profil porteur autostable NACA 23112 :
épaisseur maxi. 12% de la corde ; rayon de B.A = 1,58% de la corde ; décalage du rayon = 0,337% de la corde
| • PROFIL 23112 | • (12% de la corde) |
| • Rayon du bord d’attaque : r = 1,58% ; λ = 6 ; Nr = 4,5x106 |
| x | Y1 ou YU | Y2 ou YL | Ysquel. | . | . | . |
| 0 | 0 | 0 | 0 | . | . | . |
| 1,25 | 2,76 | -1,19 | 0,785 | . | . | . |
| 2,5 | 3,72 | -1,67 | 1,025 | . | . | . |
| 5,0 | 5,07 | -2,11 | 1,48 | . | . | . |
| 7,5 | 6,01 | -2,45 | 1,78 | . | . | . |
| 10 | 6,65 | -2,72 | 1,965 | . | . | . |
| 15 | 7,43 | -3,26 | 2,085 | . | . | . |
| 20 | 7,71 | -3,77 | 1,97 | . | . | . |
| 25 | 7,74 | -4,13 | 1,805 | . | . | . |
| 30 | 7,64 | -4,37 | 1,635 | . | . | . |
| 40 | 7,10 | -4,52 | 1,29 | . | . | . |
| 50 | 6,28 | -4,33 | 0,975 | . | . | . |
| 60 | 5,25 | -3,9 | 0,675 | . | . | . |
| 70 | 4,08 | -3,23 | 0,425 | . | . | . |
| 80 | 2,85 | -2,42 | 0,215 | . | . | . |
| 90 | 1,52 | -1,39 | 0,065 | . | . | . |
| 95 | 0,83 | -0,78 | 0,025 | . | . | . |
| 100 | 0,13 | -0,13 | 0 | . | . | . |
Le profil NACA 23112
 |
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:24
8.1.3 Cambrure d’un profil
La cambrure d’un profil améliore la portance aux vitesses faibles. Un profil cambré est donc particulièrement bien adapté aux ULM qui volent à vitesse lente, ou aux avions en phase d’atterrissage. Pour tracer un profil cambré, on part d’un profil quelconque extrait d’un catalogue de profils:
Profil symétrique de base à 13% (fig. André Morin)
On cambre la ligne moyenne avec une flèche de 3% à 6% ; le point de cambrage maximum doit être situé entre 25% et 40% en arrière du bord d’attaque :
Tracé d'un profil en cambrant la ligne moyenne d'un profil symétrique à 13% (fig. André Morin)
On peut ainsi obtenir une infinité de formes de profils cambrés, mais sans qu’ils aient été préalablement testés en soufflerie : leur polaire restera donc inconnue, à moins de les faire tester tout spécialement.
Exemple de profil cambré utilisé par André Morin pour son ULM M81 : PROFIL 4412 (12% de la corde)
Profil NACA 4412 (12%) Corde 1450 mm (fig. André Morin)
Profils à fente, Volet à fente hypersustentateur
Une fente a pour effet de coller les filets d’air à l’extrados de l’aile, ce qui confère au profil des qualités hypersustentatrices intéressantes à vitesse lente. Ceci permet d’aborder la phase d’atterrissage sous un angle plus élevé, et à une vitesse plus faible en évitant pratiquement la perte de vitesse grâce à l’amélioration de la portance.
Volet à fente hypersustentateur
Exemple de volet à fente baissé, en position atterrissage (fig. André Morin)
Exemple d'articulation d'aileron à fente (fig. André Morin)
Combinaisons de fentes
Effet sur la portance 100Cz max de différentes combinaisons de fentes :
La cambrure d’un profil améliore la portance aux vitesses faibles. Un profil cambré est donc particulièrement bien adapté aux ULM qui volent à vitesse lente, ou aux avions en phase d’atterrissage. Pour tracer un profil cambré, on part d’un profil quelconque extrait d’un catalogue de profils:
Profil symétrique de base à 13% (fig. André Morin)
On cambre la ligne moyenne avec une flèche de 3% à 6% ; le point de cambrage maximum doit être situé entre 25% et 40% en arrière du bord d’attaque :
Tracé d'un profil en cambrant la ligne moyenne d'un profil symétrique à 13% (fig. André Morin)
On peut ainsi obtenir une infinité de formes de profils cambrés, mais sans qu’ils aient été préalablement testés en soufflerie : leur polaire restera donc inconnue, à moins de les faire tester tout spécialement.
Exemple de profil cambré utilisé par André Morin pour son ULM M81 : PROFIL 4412 (12% de la corde)
| • PROFIL 4412 | • POLAIRE (approximative) du 4415 |
| • Rayon du bord d’attaque : r = 1,58% ; λ = 6 ; Nr = 6x106 |
| x | Y1 ou YU | Y2 ou YL | i° | 100Cz | 100Cx | 100Cm |
| 0 | 0 | 0 | -18 | -73 | . | 0 |
| 0,20 | 1,20 | -0,50 | -16 | -87 | . | -2,50 |
| 0,40 | 1,56 | -0,77 | -14 | -90 | . | -5,00 |
| 0,60 | 1,80 | -0,95 | -12 | -84 | . | -8,00 |
| 0,80 | 2,05 | -1,12 | -10 | -63 | . | -10,00 |
| 1,25 | 2,44 | -1,43 | -8 | -43 | . | -9,84 |
| 2,5 | 3,39 | -1,95 | -6 | -20 | . | -9,64 |
| 5,0 | 4,73 | -2,49 | -4 | 0 | . | -9,50 |
| 7,5 | 5,76 | -2,74 | -2 | +20 | . | -9,50 |
| 10 | 6,59 | -2,86 | 0 | 45 | . | -9,49 |
| 15 | 7,89 | -2,88 | 2 | 62 | . | -9,28 |
| 20 | 8,80 | -2,74 | 4 | 85 | . | -9,00 |
| 25 | 9,41 | -2,50 | 6 | 105 | . | -8,75 |
| 30 | 9,76 | -2,26 | 8 | 123 | . | -8,35 |
| 40 | 9,80 | -1,80 | 10 | 140 | . | -7,94 |
| 50 | 9,19 | -1,40 | 12 | 155 | . | -7,50 |
| 60 | 8,14 | -1,00 | 14 | 162 | . | -7,00 |
| 70 | 6,69 | -0,65 | 16 | 160 | . | -6,25 |
| 80 | 4,89 | -0,39 | 18 | 152 | . | -6,75 |
| 90 | 2,71 | -0,22 | 20 | 145 | . | -7,50 |
| 95 | 1,47 | -0,13 | . | . | . | . |
| 100 | 0,13 | -0,16 | . | . | . | . |
Profil NACA 4412 (12%) Corde 1450 mm (fig. André Morin)
Profils à fente, Volet à fente hypersustentateur
Une fente a pour effet de coller les filets d’air à l’extrados de l’aile, ce qui confère au profil des qualités hypersustentatrices intéressantes à vitesse lente. Ceci permet d’aborder la phase d’atterrissage sous un angle plus élevé, et à une vitesse plus faible en évitant pratiquement la perte de vitesse grâce à l’amélioration de la portance.
Volet à fente hypersustentateur
Exemple de volet à fente baissé, en position atterrissage (fig. André Morin)
Exemple d'articulation d'aileron à fente (fig. André Morin)
Combinaisons de fentes
Effet sur la portance 100Cz max de différentes combinaisons de fentes :
| • Type de fente | i° | 100Cz max |
 | 15° | 129,1 |
 | 24° | 177,2 |
 | 24° | 188,1 |
 | 23° | 181,3 |
 | 19° | 226,1 |
 | 20° | 260,0 |
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:25
8.2 Calcul et construction d'un Longeron
8.2.1 Calcul d'un longeron
8.2.1-1) Calcul des contraintes appliquées à un longeron
Soit un avion tel que défini sur la figure ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Notre avion type (fig. 8.2.1-1 R.G. Desgrandschamps)
Efforts sur la cellule
1) Charge en ressource d'angle i
Les services techniques de l'aéronautique imposent que les avions de tourisme (non acrobatiques) soient testés à 3,5 g.
Le facteur de charge à la rupture est le produit 3,5 x 1,5. En multipliant par le coefficient de sécurité 1,33 on obtient :
facteur de charge n1 = 3,5 x 1,5 x 1,33 = 7
La cellule supporte une charge C1 dirigée vers le haut qui est égale au facteur de charge n1 multiplié par le poids de la cellule (c'est à dire le poids de l'avion G moins le poids de l'aile gc) :
Charge C1 = n1 (G - gc) = 7 (G - gc)
L'angle i de la ressource est proche de l'angle qui donne la portance maximum. On a pour cet angle le point d'application de la résultante et les valeurs Cm et Cz. Enfin on peut en déduire la charge supportée par chacun des éléments de la charpente en fonction de leur disposition.
2) Charge inverse (rafale vers le bas)
Si l'on admet une charge inverse dûe à une accélération de 1,5 g, avec le centre de poussée Cp situé au même point qu'en vol à vitesse maximum, on obtient :
facteur de charge n2 = 1,5 x 1,5 x 1,33 = 3
Charge C2 = 3 G
Le point correspondant à V0 se lit sur la polaire logarithmique, d'où l'on déduit Cx et Cm et le point d'application de la résultante. On en déduit comme précédemment la charge supportée par chacun des éléments de la charpente en fonction de leur disposition.
3) Charge à vitesse maximum
On vérifie l'avion pour la position du centre de poussée à vitesse maximum et avec une charge dirigée vers le haut :
facteur de charge n3 = 3/4 de n1 = 5,25
Charge C3 = 5,25 (G - gc)
4) Charge à l'atterrissage
On vérifie aussi les contraintes (efforts) sur la membrure lorsque l'avion atterrit en ligne de vol et en chute verticale :
facteur de charge n4 = 6
Application à une cellule semi-cantilever articulée
Polaire avec une cellule semi-cantilever articulée (fig. 8.2.1-2 R.G. Desgrandschamps)
Considérons le profil NACA 23012. Avec un allongement proche de 6 et un Nombre de Reynolds proche de 4,5 x 102, les coordonnées de la polaire sont les suivantes :
8.2.1 Calcul d'un longeron
8.2.1-1) Calcul des contraintes appliquées à un longeron
Soit un avion tel que défini sur la figure ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Notre avion type (fig. 8.2.1-1 R.G. Desgrandschamps)
Efforts sur la cellule
1) Charge en ressource d'angle i
Les services techniques de l'aéronautique imposent que les avions de tourisme (non acrobatiques) soient testés à 3,5 g.
Le facteur de charge à la rupture est le produit 3,5 x 1,5. En multipliant par le coefficient de sécurité 1,33 on obtient :
facteur de charge n1 = 3,5 x 1,5 x 1,33 = 7
La cellule supporte une charge C1 dirigée vers le haut qui est égale au facteur de charge n1 multiplié par le poids de la cellule (c'est à dire le poids de l'avion G moins le poids de l'aile gc) :
Charge C1 = n1 (G - gc) = 7 (G - gc)
L'angle i de la ressource est proche de l'angle qui donne la portance maximum. On a pour cet angle le point d'application de la résultante et les valeurs Cm et Cz. Enfin on peut en déduire la charge supportée par chacun des éléments de la charpente en fonction de leur disposition.
2) Charge inverse (rafale vers le bas)
Si l'on admet une charge inverse dûe à une accélération de 1,5 g, avec le centre de poussée Cp situé au même point qu'en vol à vitesse maximum, on obtient :
facteur de charge n2 = 1,5 x 1,5 x 1,33 = 3
Charge C2 = 3 G
Le point correspondant à V0 se lit sur la polaire logarithmique, d'où l'on déduit Cx et Cm et le point d'application de la résultante. On en déduit comme précédemment la charge supportée par chacun des éléments de la charpente en fonction de leur disposition.
3) Charge à vitesse maximum
On vérifie l'avion pour la position du centre de poussée à vitesse maximum et avec une charge dirigée vers le haut :
facteur de charge n3 = 3/4 de n1 = 5,25
Charge C3 = 5,25 (G - gc)
4) Charge à l'atterrissage
On vérifie aussi les contraintes (efforts) sur la membrure lorsque l'avion atterrit en ligne de vol et en chute verticale :
facteur de charge n4 = 6
Application à une cellule semi-cantilever articulée
Polaire avec une cellule semi-cantilever articulée (fig. 8.2.1-2 R.G. Desgrandschamps)
Considérons le profil NACA 23012. Avec un allongement proche de 6 et un Nombre de Reynolds proche de 4,5 x 102, les coordonnées de la polaire sont les suivantes :
| i en degrés | -4,15 | -1,05 | +1,66 | 4,32 | 6,98 | 9,64 | 12,3 | 14,96 | 17,66 | 22,05 | 22,75 |
| 100 Cz | -23 | 0 | +20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 159 | 130 |
| 100 Cx | 1 | 0,62 | 0,82 | 1,52 | 2,78 | 4,32 | 6,40 | 9,10 | 12,50 | 20 | 22,50 |
| 100 Cm | -4,9 | +0,5 | 5,3 | 10,1 | 15,1 | 20,1 | 25,2 | 30,3 | 35,3 | 44 | 40 |
| Cp en % de l | 21,3 | ∞ | 26,5 | 25,2 | 25,2 | 25,2 | 25,2 | 25,2 | 25,2 | 27,7 | 30,8 |
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:27
8.2.1-2) Calcul des charges normales maximum sur le longeron
• 1er cas - n1 = 7 - (Charge en ressource d'incidence i)
C1 = n1 (G - gc) = 7 (550 - 100) = 3 150 kg.
Dans le cas de la ressource, l'angle d'incidence nous rapproche de la portance maximum.
Par exemple, pour un angle d'incidence i1 = 19° ⇒ le centre de poussée Cp = 26% de la profondeur.
Si le longeron avant est à 15% de la profondeur et le longeron arrière à 60%, chaque longeron supporte une charge inverse proportionnelle à sa distance au Cp.
Les deux longerons sont distants de 45% de la profondeur. Comme le Cp est à 26% de la profondeur, le longeron avant est donc à 11% du Cp et le longeron arrière à 34% du Cp.
Charges sur les longerons en ressource (fig. 8.2.1-3 R.G. Desgrandschamps)
Charge sur longeron AV = C1 AV = (34/45) C1 = (34/45) x 3 150 = 2 370 kg. ↑
Charge sur longeron AR = C1 AR = (11/45) C1 = (11/45) x 3 150 = 770 kg. ↑
• 2e cas - n2 = 3 - (Charge inverse = rafale vers le bas)
C2 = n2 x G = 3 x 550 = 1 650 kg.
Considérons la droite des V0 qui coupe la polaire en un point d'ordonnée 100 Cp = 26 :
Pour cette valeur, le Cz est à 26% de la profondeur.
Charges sur les longerons en charge inverse : rafale vers le bas (fig. 8.2.1-4 R.G. Desgrandschamps)
La position du centre de poussée est donc la même en ressource à 19° et en croisière !
En fait, pour les profils de la famille NACA 23000, le centre de poussée Cp varie peu. (Mais ceci est propre aux profils NACA et on ne peut pas généraliser : Pour les profils Clark Y, qu'on utilisait couramment pour des avions anciens, le centre de poussée Cp pouvait passer de 60 à 28% pour la gamme des angles d'incidence utilisables)
Dans notre exemple :
Charge sur longeron AV = C2 AV = (34/45) x 1 650 = 1 245 kg. ↓
Charge sur longeron AR = C2 AR = (11/45) x 1 650 = 405 kg. ↓
Ce cas s'applique tout particulièrement aux avions équipés de mâts sur lesquels le vol normal applique une traction, alors qu'une charge inverse produit une compression.
• 3e cas - n3 = 5,25 - (Charge à vitesse maximum)
Nous avons vu que pour le profil adopté, et à la vitesse maximum, le centre de poussée Cp est au même point qu'à l'angle de la ressource, soit à 26% de la profondeur. Les deux longerons sont donc chargés proportionnellement de la même manière.
Or n2 est plus petit que n1. Ce cas ne concerne donc pas notre avion.
• 4e cas - n4 = 6 - (Charge à l'atterrissage = à l'impact)
A l'impact (atterrissage) la charge supportée par la voilure est uniquement son propre poids. Comme le train d'atterrissage est fixé au fuselage, la voilure ne subit pas de réaction de la part du train.
n4 = 6
gc = 100 kg.
C4 = n4 x gc = 6 x 100 = 600 kg.
La charge C4 = 600 kg. est répartie sur les deux longerons en fonction de la position du centre de gravité (à 28% du bord d'attaque).
Soit :
Charge sur longeron AV = C4 AV = (32/45) x 600 = 427 kg. ↓
Charge sur longeron AR = C4 AR = (13/45) x 600 = 173 kg. ↓
Ces charges sont inférieures aux valeurs respectives de C2 AV et C2 AR. Ce cas ne concerne donc pas notre avion.
8.2.1-3) Calcul des éléments principaux de la cellule sous la charge normale maximum
L'objectif est de calculer les efforts verticaux et les efforts en bout appliqués sur les longerons, en fonction des charges calculées dans le paragraphe précédent.
AV
2 380 kg. ↑
1 245 kg. ↓
AR
770 kg. ↑
405 kg. ↓
Considérons le longeron avant, chargé à 2 380 kg.
Notre aile ayant une profondeur constante, la charge par mètre courant mc (la charge divisée par l'envergure) est donc la suivante :
p = 2 380 / 9.4 = 253 kg./mc.
Les différents facteurs négligés (volontairement) sont les suivants :
• Le tourbillon marginal qui réduit la portance des marges comme si l'envergure de la voilure était réduite de quelques centimètres.
• Le cos de l'incidence i : la charge p est verticale, pour obtenir la charge normale au longeron on devrait multiplier p par cos i.
Or cos i = cos 19° = 0,9455 est très voisin de 1.
• Par contre on ne néglige pas sin i pour les charges horizontales, car sin i = sin 19° = 0,3256.
Flexion :
Pour notre cellule, l'aile est articulée en B et comporte un point d'appui en A (l'attache de mât).
Dans la partie en porte à faux (à droite de A)
Si la charge est répartie uniformément, le moment de flexion M est donné par :
M = (p/2). - x2 = - (p.x2) / 2
x étant mesuré à partir de l'extrémité.
Calcul de la flexion pour une aile articulée en B et comportant un point d'appui en A (fig. 8.2.1-5 R.G. Desgrandschamps)
Entre l'appui A et et l'articulation B (à gauche de A, entre A et B)
La partie centrale forme une poutre séparée, uniformément chargée, qui repose sur deux appuis. Le moment de flexion M est donné par :
M = (p/2).(- x2 + ( L2.(x - l1) / l2 ))
x étant mesuré à partir de l'extrémité.
Dans la partie centrale (au dessus du fuselage)
Le moment de flexion M est donné par :
M = p.(x1 / 2).(l3 - x1)
x1 est mesuré à partir de l'articulation.
Les moments de flexion pour le longeron avant sont donc les suivants :
Dans la partie centrale on a :
La parabole des moments passe par les points que nous venons de calculer ; elle donne la flexion en tous les points du longeron.
Moments de flexion (paraboles) et cisaillements (droites) pour une aile articulée en B avec un point d'appui en A (fig. 8.2.1-6 R.G. Desgrandschamps)
Efforts tranchants sur le longeron (cisaillement) :
Les efforts tranchants (ou cisaillements) sont représentés par des droites car la charge est uniformément répartie.
Ils sont donnés par la formule :
Tn = tn + (Mn+1 - Mn) / ln
où,
Tn est l'effort tranchant (cisaillement) réel sur l'appui de rang n
tn = p.ln / 2 est l'effort tranchant (cisaillement) sur l'appui de rang n si la travée est indépendante
Mn+1 et Mn sont les moments aux appuis limitant la travée
ln est la longueur de la travée
Cisaillement vers l'extérieur
Dans notre calcul, l'effort tranchant (cisaillement) TA1e vers l'extérieur s'écrit :
TA1e = - (p.l1 / 2) + (MA - 0) / 1,25 = ((253 x 1,25) / 2) + (-198 / 1,25) = ((253 x 1,25) / 2) - (198 / 1,25) = - 316 kg.
Ou, plus simplement en ne considérant que les forces vers l'extérieur :
TAe = - 253 / 1,25 = = - 316 kg.
Reportons cette valeur, - 316 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point A.
Cisaillement vers l'intérieur
L'effort tranchant (cisaillement) TAi vers l'intérieur s'écrit :
TAi = + (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2 = ((253 x 2,90) / 2) + ((0 - (-198)) / 2,90) = ((253 x 2,90) / 2) + 198 / 2,90 = + 435 kg.
Reportons cette valeur, + 435 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point A.
Cisaillement vers l'extérieur
TBe = - (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2 = - ((253 x 2,90) / 2) + (0 - 198) / 2,90 = - 300 kg.
Ou, plus simplement (*) :
TBe = - p.l2 + TAi = - 253 x 2,90 + 435 = - 300 kg.
Reportons cette valeur, - 300 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point B.
(*) En effet :
TAi = + (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2
TBe = - (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2
d'où,
TBe - TAi = - 2.p.l2 / 2 = - p.l2
TBe = - p.l2 + TAi
Pour la poutre centrale séparée
TBi = + (p.l2 / 2) = (253 x 1,10) / 2 = + 139 kg.
Reportons cette valeur, + 139 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point B.
Tracé des droites d'efforts tranchants (cisaillement)
Sur le diagramme des flexions ci-dessus, nous venons de reporter les points extrèmes de chaque droite d'efforts. Il est maintenant facile de relier ces valeurs par des lignes droites.
Sur l'axe des abcisses on porte la longueur de la poutre en mètres. Et sur l'axe des ordonnées, on porte deux échelles : des kilogrammètres pour les flexions d'une part, et des kilogrammes pour les efforts tranchants.
Par ailleurs on peut vérifier graphiquement deux choses sur cette figure :
• Les droites d'efforts tranchants du longeron son parallèles car les charges sont constantes au mètre courant.
• La parabole des moments est à son apex (maximum) quand l'effort tranchant est nul (quand la droite coupe l'axe des abcisses). Car T est la dérivée de M.
Réactions aux appuis A et B :
RA = TAi - TAe = 435 + 316 = 751 kg.
RB = TBi - TBe = 139 + 300 = 439 kg.
La somme des réactions, 1190 kg., correspond bien à la charge sur une demi-aile :
p x b / 2 = 253 x 9,4 / 2 = 435 + 316 = 1190 kg.
• 1er cas - n1 = 7 - (Charge en ressource d'incidence i)
C1 = n1 (G - gc) = 7 (550 - 100) = 3 150 kg.
Dans le cas de la ressource, l'angle d'incidence nous rapproche de la portance maximum.
Par exemple, pour un angle d'incidence i1 = 19° ⇒ le centre de poussée Cp = 26% de la profondeur.
Si le longeron avant est à 15% de la profondeur et le longeron arrière à 60%, chaque longeron supporte une charge inverse proportionnelle à sa distance au Cp.
Les deux longerons sont distants de 45% de la profondeur. Comme le Cp est à 26% de la profondeur, le longeron avant est donc à 11% du Cp et le longeron arrière à 34% du Cp.
Charges sur les longerons en ressource (fig. 8.2.1-3 R.G. Desgrandschamps)
Charge sur longeron AV = C1 AV = (34/45) C1 = (34/45) x 3 150 = 2 370 kg. ↑
Charge sur longeron AR = C1 AR = (11/45) C1 = (11/45) x 3 150 = 770 kg. ↑
• 2e cas - n2 = 3 - (Charge inverse = rafale vers le bas)
C2 = n2 x G = 3 x 550 = 1 650 kg.
Considérons la droite des V0 qui coupe la polaire en un point d'ordonnée 100 Cp = 26 :
Pour cette valeur, le Cz est à 26% de la profondeur.
Charges sur les longerons en charge inverse : rafale vers le bas (fig. 8.2.1-4 R.G. Desgrandschamps)
La position du centre de poussée est donc la même en ressource à 19° et en croisière !
En fait, pour les profils de la famille NACA 23000, le centre de poussée Cp varie peu. (Mais ceci est propre aux profils NACA et on ne peut pas généraliser : Pour les profils Clark Y, qu'on utilisait couramment pour des avions anciens, le centre de poussée Cp pouvait passer de 60 à 28% pour la gamme des angles d'incidence utilisables)
Dans notre exemple :
Charge sur longeron AV = C2 AV = (34/45) x 1 650 = 1 245 kg. ↓
Charge sur longeron AR = C2 AR = (11/45) x 1 650 = 405 kg. ↓
Ce cas s'applique tout particulièrement aux avions équipés de mâts sur lesquels le vol normal applique une traction, alors qu'une charge inverse produit une compression.
• 3e cas - n3 = 5,25 - (Charge à vitesse maximum)
Nous avons vu que pour le profil adopté, et à la vitesse maximum, le centre de poussée Cp est au même point qu'à l'angle de la ressource, soit à 26% de la profondeur. Les deux longerons sont donc chargés proportionnellement de la même manière.
Or n2 est plus petit que n1. Ce cas ne concerne donc pas notre avion.
• 4e cas - n4 = 6 - (Charge à l'atterrissage = à l'impact)
A l'impact (atterrissage) la charge supportée par la voilure est uniquement son propre poids. Comme le train d'atterrissage est fixé au fuselage, la voilure ne subit pas de réaction de la part du train.
n4 = 6
gc = 100 kg.
C4 = n4 x gc = 6 x 100 = 600 kg.
La charge C4 = 600 kg. est répartie sur les deux longerons en fonction de la position du centre de gravité (à 28% du bord d'attaque).
Soit :
Charge sur longeron AV = C4 AV = (32/45) x 600 = 427 kg. ↓
Charge sur longeron AR = C4 AR = (13/45) x 600 = 173 kg. ↓
Ces charges sont inférieures aux valeurs respectives de C2 AV et C2 AR. Ce cas ne concerne donc pas notre avion.
8.2.1-3) Calcul des éléments principaux de la cellule sous la charge normale maximum
L'objectif est de calculer les efforts verticaux et les efforts en bout appliqués sur les longerons, en fonction des charges calculées dans le paragraphe précédent.
AV
2 380 kg. ↑
1 245 kg. ↓
AR
770 kg. ↑
405 kg. ↓
Considérons le longeron avant, chargé à 2 380 kg.
Notre aile ayant une profondeur constante, la charge par mètre courant mc (la charge divisée par l'envergure) est donc la suivante :
p = 2 380 / 9.4 = 253 kg./mc.
Les différents facteurs négligés (volontairement) sont les suivants :
• Le tourbillon marginal qui réduit la portance des marges comme si l'envergure de la voilure était réduite de quelques centimètres.
• Le cos de l'incidence i : la charge p est verticale, pour obtenir la charge normale au longeron on devrait multiplier p par cos i.
Or cos i = cos 19° = 0,9455 est très voisin de 1.
• Par contre on ne néglige pas sin i pour les charges horizontales, car sin i = sin 19° = 0,3256.
Flexion :
Pour notre cellule, l'aile est articulée en B et comporte un point d'appui en A (l'attache de mât).
Dans la partie en porte à faux (à droite de A) Si la charge est répartie uniformément, le moment de flexion M est donné par :
M = (p/2). - x2 = - (p.x2) / 2
x étant mesuré à partir de l'extrémité.
Calcul de la flexion pour une aile articulée en B et comportant un point d'appui en A (fig. 8.2.1-5 R.G. Desgrandschamps)
Entre l'appui A et et l'articulation B (à gauche de A, entre A et B) La partie centrale forme une poutre séparée, uniformément chargée, qui repose sur deux appuis. Le moment de flexion M est donné par :
M = (p/2).(- x2 + ( L2.(x - l1) / l2 ))
x étant mesuré à partir de l'extrémité.
Dans la partie centrale (au dessus du fuselage) Le moment de flexion M est donné par :
M = p.(x1 / 2).(l3 - x1)
x1 est mesuré à partir de l'articulation.
Les moments de flexion pour le longeron avant sont donc les suivants :
| x = 0 | M0 = | 0 kgm. = M0 |
| x = 0,40 | M = (-253 x 0,42) / 2 | -20,2 kgm. |
| x = 0,80 | M = (-253 x 0,82) / 2 | -81 kgm. |
| x = 1,25 (appui B) | M = (-253 x 1,252) / 2 | -198 kgm. = M1 |
| x = 1,50 | M = (-253 / 2) x (-1,502 + (4,152x(1,50 - 1,25)) / 2,90) | -97,5 kgm. |
| x = 2 | M = (-253 / 2) x (-22 + (4,152x(2 - 1,25)) / 2,90) | +57 kgm. |
| x = 2,5 | M = (-253 / 2) x (-2,52 + (4,152x(2,5 - 1,25)) / 2,90) | +152 kgm. |
| x = 3 | M = (-253 / 2) x (-32 + (4,152x(3 - 1,25)) / 2,90) | +173 kgm. |
| x = 3,5 | M = (-253 / 2) x (-3,52 + (4,152x(3,5 - 1,25)) / 2,90) | +139 kgm. |
| x = 4 | M = (-253 / 2) x (-42 + (4,152x(4 - 1,25)) / 2,90) | +50,6 kgm. |
| x = 4,15 (articulation A) | M = (-253 / 2) x (-42 + (4,152x(4 - 1,25)) / 2,90) | 0 kgm. = M0 |
| x1 = 0,25 | M = ((253 x 0,25) / 2) x (1,10 - 0,25) = | +26,9 kgm. |
| x1 = 0,55 | M = ((253 x 0,55) / 2) x (1,10 - 0,55) = | +38,4 kgm. |
| x1 = 0,55 | Ou, plus simplement : M = p.l2 / 8 = (253 x 1,102) / 8) = | +38,4 kgm. |
La parabole des moments passe par les points que nous venons de calculer ; elle donne la flexion en tous les points du longeron. Moments de flexion (paraboles) et cisaillements (droites) pour une aile articulée en B avec un point d'appui en A (fig. 8.2.1-6 R.G. Desgrandschamps)
Efforts tranchants sur le longeron (cisaillement) :
Les efforts tranchants (ou cisaillements) sont représentés par des droites car la charge est uniformément répartie.
Ils sont donnés par la formule :
Tn = tn + (Mn+1 - Mn) / ln
où,
Tn est l'effort tranchant (cisaillement) réel sur l'appui de rang n
tn = p.ln / 2 est l'effort tranchant (cisaillement) sur l'appui de rang n si la travée est indépendante
Mn+1 et Mn sont les moments aux appuis limitant la travée
ln est la longueur de la travée
Cisaillement vers l'extérieur Dans notre calcul, l'effort tranchant (cisaillement) TA1e vers l'extérieur s'écrit :
TA1e = - (p.l1 / 2) + (MA - 0) / 1,25 = ((253 x 1,25) / 2) + (-198 / 1,25) = ((253 x 1,25) / 2) - (198 / 1,25) = - 316 kg.
Ou, plus simplement en ne considérant que les forces vers l'extérieur :
TAe = - 253 / 1,25 = = - 316 kg.
Reportons cette valeur, - 316 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point A.
Cisaillement vers l'intérieur L'effort tranchant (cisaillement) TAi vers l'intérieur s'écrit :
TAi = + (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2 = ((253 x 2,90) / 2) + ((0 - (-198)) / 2,90) = ((253 x 2,90) / 2) + 198 / 2,90 = + 435 kg.
Reportons cette valeur, + 435 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point A.
Cisaillement vers l'extérieur TBe = - (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2 = - ((253 x 2,90) / 2) + (0 - 198) / 2,90 = - 300 kg.
Ou, plus simplement (*) :
TBe = - p.l2 + TAi = - 253 x 2,90 + 435 = - 300 kg.
Reportons cette valeur, - 300 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point B.
(*) En effet :
TAi = + (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2
TBe = - (p.l2 / 2) + (MB - MA) / l2
d'où,
TBe - TAi = - 2.p.l2 / 2 = - p.l2
TBe = - p.l2 + TAi
Pour la poutre centrale séparée TBi = + (p.l2 / 2) = (253 x 1,10) / 2 = + 139 kg.
Reportons cette valeur, + 139 kg., sur la figure ci-dessus à la vertiale du point B.
Tracé des droites d'efforts tranchants (cisaillement) Sur le diagramme des flexions ci-dessus, nous venons de reporter les points extrèmes de chaque droite d'efforts. Il est maintenant facile de relier ces valeurs par des lignes droites.
Sur l'axe des abcisses on porte la longueur de la poutre en mètres. Et sur l'axe des ordonnées, on porte deux échelles : des kilogrammètres pour les flexions d'une part, et des kilogrammes pour les efforts tranchants.
Par ailleurs on peut vérifier graphiquement deux choses sur cette figure :
• Les droites d'efforts tranchants du longeron son parallèles car les charges sont constantes au mètre courant.
• La parabole des moments est à son apex (maximum) quand l'effort tranchant est nul (quand la droite coupe l'axe des abcisses). Car T est la dérivée de M.
Réactions aux appuis A et B : RA = TAi - TAe = 435 + 316 = 751 kg.
RB = TBi - TBe = 139 + 300 = 439 kg.
La somme des réactions, 1190 kg., correspond bien à la charge sur une demi-aile :
p x b / 2 = 253 x 9,4 / 2 = 435 + 316 = 1190 kg.
enrimores- Pilote
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:29
Efforts dûs aux réactions d'appui (efforts en bout ou axiaux) :
Ces réactions créent des charges dans les mâts et des efforts de compression dans les longerons.
On peut les déterminer graphiquement, pour ce faire, on trace sur la figure ci-dessous la direction des mâts (qui sont dans le même plan vertical que les longerons). On porte la valeur RA = 751 kg. sur la perpendiculaire en A à la direction du longeron. Ceci donne le vecteur AC, dirigé vers le haut. On trace la parallèle à la direction du mât passant par C. Cette droite coupe la direction du longeron en un point D.
Réactions d'appui sur les longerons (fig. 8.2.1-7 R.G. Desgrandschamps)
• Traction dans le mât : vecteur CD = - 1670 kg.
• Compression dans le longeron : vecteur AD = + 1480 kg.
(Les efforts dans la cabane sont traités plus loin)
Remarques :
♦ Longeron arrière
En multipliant tous ces résultats par le rapport des charges, nous pouvons étendre au longeron arrière tous ces calculs de flexion, cisaillement, compression et traction.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
♦ Charge inverse
Dans le cas d'une charge inverse, les efforts sur le longeron avant sont dans le rapport :
C2 AV / C1 AV = 1245 / 2380 = 0,523
et les efforts sur le longeron arrière sont dans le rapport :
C2 AR / C1 AV = 405 / 2380 = 0,17
Mais les mâts sont alors comprimés et les longerons sont tendus.
Par exemple, la mât avant subit la compression suivante :
1670 x 0,523 = + 875 kg.
et le longeron avant subit la traction suivante :
1480 x 0,523 = - 775 kg.
♦ Tension de la toile
Comme l'aile est entoilée, il faut ajouter aux efforts sur le(s) longeron(s) les charges de tension dûes à la toile enduite, soit
400 kg. par mètre de large
Pour une aile de 1m. 54 de profondeur, la charge de compression est donc de :
400 kg. x 1m. 54 = 616 kg.
Cette charge de 616 kg. est répartie sur chaque longeron, suivant sa position en profondeur, voir figure 8.2.1-1 :
Sur cette figure on peut calculer graphiquement les profondeurs intéressant chaque longeron :
• Profondeur s'appuyant sur le longeron avant
0,231 + 0,693 / 2 = 0m. 578
• Profondeur s'appuyant sur le longeron arrière
0,693 / 2 + 0,616 = 0m. 962
• Charge sur le longeron avant
400 kg. x 0,578 = 231 kg. de compression
• Charge sur le longeron arrière
400 kg. x 0,962 = 385 kg. de compression
Notons que la charge de tension de 400 kg. est un maximum atteint juste après enduisage, cette charge diminue ensuite au cours de la vie de l'avion ; par ailleurs cet effort est fixe, il n'y a donc pas d'accélération. Il est donc inutile de faire intervenir un quelconque coefficient.
8.2.1-4) Recherche des charges en plan et calcul des principaux éléments de cellule sous cette charge
♦ 1er cas de vol : incidence 19°
• Incidence
Suivant qu'elle est positive ou négative, l'incidence crée dans la poutre des efforts dirigés respectivement d'arrière en avant ou d'avant en arrière, car la portance Fz est composée d'une force S perpendiculaire au longeron et dirigée vers le haut et d'une force T dirigée vers l'avant.
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-8 R.G. Desgrandschamps)
Pour une incidence de vol de 19°, sin 19° = 0,3256
La charge = C1 x sin i = 3150 x 0,3256 = 1027 kg. s'arrière enn avant
• Traînée
La traînée vaut :
Traînée = (Cx / 16) x S.V2 ; or V2 = G x 16 / Cz.S
Traînée = (Cx.S x G x 16) / (16 x Cz x S) = (Cx / Cz) x G
Les valeurs de la portance et de la traînée pour i = 19° sont prises sur la polaire (figure f8.2.1-2)
Pour i = 19°, 100 Cx = 150, et 100 Cz = 14,6
Traînée = 14,6 / 150 x 550 = 53,5
Et avec un coefficient 7 :
Traînée = 53,5 x 7 = 374,5 kg. d'arrière en avant.
Et l'effort résultant :
Effort résultant = 1027 - 374,5 = 652,5 kg. d'arrière en avant.
♦ 3e cas de vol : incidence i à vitesse maximum = 2°6
• Incidence
L'incidence i à vitesse maximum est de 2°6 ; sin 2°6 = 0,041
C3 = 5,25 (G - gc) = 5,25 (550 - 100) = 2360 kg.
C3 sin i = C3 sin 2°6 = 2360 x 0,041 = 97 kg. d'arrière en avant.
• Traînée
La traînée vaut :
Traînée = n3 . Cx / 16 .SV2
Or d'après la polaire (figure f8.2.1-2),
V = 165,5 km./h. = 46 m./s. ⇒ V2 = 462 = 2116
Cx pour 2°6 = 0,0105.
Traînée = 5,25 x 0,0105 / 16 x 14,5 x 2116 = 105,5 kg. d'avant en arrière.
Et l'effort résultant :
Effort résultant = 105,5 - 97 = 8,5 kg. d'avant en arrière.
Les efforts dans les longerons, les entretoises et les diagonales sont donnés par un tracé de Crémona.
• Règle de Crémona :
Elle s'applique aux nœuds où il n'y a que deux barres de direction connue mais dont les efforts sont inconnus.
Si l'on considère chaque nœud individuellement, on trace un polygone fermé correspondant à chacun d'eux. Chaque côté du polygone est parallèle à une des barres aboutissant à ce nœud. Chacune des barres est envisagée une par une et en tournant toujours dans le même sens.
La longueur de chaque ligne est proportionnelle à l'effort (connu pour n - 2 barres) dans chacune des barres. Si la force se dirige vers le nœud, la barre est comprimée, elle est tendue dans le cas contraire.
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-9 R.G. Desgrandschamps)
Appliquons dans le plan de l'aile un effort de 652,5 kg, soit 652,5 / 9,4 = 69,4 kg./mètre d'arrière en avant.
Chaque nœud encaisse un effort proportionnel à la demi-distance qui le sépare du ou des nœuds voisins (figure ci-dessus).
Chaque nœud supporte les charges ci-dessous :
Le nœud d'emplanture : 69,4 x (1,25 / 2) = 43 kg.
Le nœud suivant : 69,4 x (1,25 / 2 + 1,45 / 2) = 94 kg.
Le nœud suivant : 69,4 x (1,45 / 2 + 1,45 / 2) = 100 kg.
Le nœud de cabane : 69,4 x (1,45 / 2 + 1,10 / 2) = 89 kg.
Le tracé de Crémona donne les efforts de traction (-) ou de compression (+) pour chaque barre. Pour les longerons, on ne retient que les efforts de compression qui s'ajoutent à ceux trouvés précédemment, et qui représentent donc le cas le plus défavorable.
8.2.1-5) Efforts dans la cabane
On doit étudier les faces avant et arrière ainsi que les faces latérales droite et gauche. Les mâts sont des éléments communs aux deux faces. Les efforts verticaux et en bout concernent uniquement les plans frontaux.
♦ Compression en ressource pour la face avant
• Compression dans le mât avant
La ressource est le seul cas à étudier car c'est elle qui donne les efforts maximum. La ressource donne dans le mât avant la compressioin suivante:
Compression mât avant = RA = 751 kg.
• Compression dans les croisillons frontaux
Si les charges sont identiques sur les deux demi-ailes, les croisillons frontaux ne travaillent pas. Mais il nous faut tenir compte d'un éventuel coup d'aileron ou d'une rafale dissymétrique. Dans ce cas on peut admettre un effort vertical qui affecte un seul côté avec un facteur de charge de 2,5. L'effort vertical est égal à la somme des deux réactions d'appui, RA et RB.
Au facteur de charge = 7,
RA + RB = 751 + 439 = 1190 kg.
Au facteur de charge = 2,5,
RA + RB = 1190 x 2,5 / 7 = 425 kg.
Ceci donne (voir figure ci-dessous) une traction de - 1100 kg. dans le croisillon frontal.
• Surcharge dans le longeron entre articulations
On constate une compression supplémentaire dans la partie de longeron entre les articulations, qui est dûe à la surcharge de + 1000 kg. causée par RB. Soit,
Surcharge (RB) = 1000 kg. x (RB / (RA + RB)) = 1000 kg. x (439 / (751 + 439)) = 370 kg.
Cette compression s'ajoute à la compression de 1480 kg. calculée pour les efforts en bout.
Efforts dans la cabane (fig. 8.2.1-10 R.G. Desgrandschamps)
♦ Compression en ressource pour la face arrière
Pour la face arrière, les calculs sont identiques à condition de prendre en compte le rapport des charges avant et arrière.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
♦ Compression en ressource pour les faces latérales
Pour les faces latérales, les efforts en plan infligent à l'entretoise une charge de + 326 kg., une traction de - 390 kg. dans le croisillon, et une compression de + 210 kg. dans le mât.
Compression en ressource pour les faces latérales (fig. 8.2.1-11 R.G. Desgrandschamps)
Ces réactions créent des charges dans les mâts et des efforts de compression dans les longerons.
On peut les déterminer graphiquement, pour ce faire, on trace sur la figure ci-dessous la direction des mâts (qui sont dans le même plan vertical que les longerons). On porte la valeur RA = 751 kg. sur la perpendiculaire en A à la direction du longeron. Ceci donne le vecteur AC, dirigé vers le haut. On trace la parallèle à la direction du mât passant par C. Cette droite coupe la direction du longeron en un point D.
Réactions d'appui sur les longerons (fig. 8.2.1-7 R.G. Desgrandschamps)
• Traction dans le mât : vecteur CD = - 1670 kg.
• Compression dans le longeron : vecteur AD = + 1480 kg.
(Les efforts dans la cabane sont traités plus loin)
Remarques :
♦ Longeron arrière
En multipliant tous ces résultats par le rapport des charges, nous pouvons étendre au longeron arrière tous ces calculs de flexion, cisaillement, compression et traction.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
♦ Charge inverse
Dans le cas d'une charge inverse, les efforts sur le longeron avant sont dans le rapport :
C2 AV / C1 AV = 1245 / 2380 = 0,523
et les efforts sur le longeron arrière sont dans le rapport :
C2 AR / C1 AV = 405 / 2380 = 0,17
Mais les mâts sont alors comprimés et les longerons sont tendus.
Par exemple, la mât avant subit la compression suivante :
1670 x 0,523 = + 875 kg.
et le longeron avant subit la traction suivante :
1480 x 0,523 = - 775 kg.
♦ Tension de la toile
Comme l'aile est entoilée, il faut ajouter aux efforts sur le(s) longeron(s) les charges de tension dûes à la toile enduite, soit
400 kg. par mètre de large
Pour une aile de 1m. 54 de profondeur, la charge de compression est donc de :
400 kg. x 1m. 54 = 616 kg.
Cette charge de 616 kg. est répartie sur chaque longeron, suivant sa position en profondeur, voir figure 8.2.1-1 :
Sur cette figure on peut calculer graphiquement les profondeurs intéressant chaque longeron :
• Profondeur s'appuyant sur le longeron avant
0,231 + 0,693 / 2 = 0m. 578
• Profondeur s'appuyant sur le longeron arrière
0,693 / 2 + 0,616 = 0m. 962
• Charge sur le longeron avant
400 kg. x 0,578 = 231 kg. de compression
• Charge sur le longeron arrière
400 kg. x 0,962 = 385 kg. de compression
Notons que la charge de tension de 400 kg. est un maximum atteint juste après enduisage, cette charge diminue ensuite au cours de la vie de l'avion ; par ailleurs cet effort est fixe, il n'y a donc pas d'accélération. Il est donc inutile de faire intervenir un quelconque coefficient.
8.2.1-4) Recherche des charges en plan et calcul des principaux éléments de cellule sous cette charge
♦ 1er cas de vol : incidence 19°
• Incidence
Suivant qu'elle est positive ou négative, l'incidence crée dans la poutre des efforts dirigés respectivement d'arrière en avant ou d'avant en arrière, car la portance Fz est composée d'une force S perpendiculaire au longeron et dirigée vers le haut et d'une force T dirigée vers l'avant.
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-8 R.G. Desgrandschamps)
Pour une incidence de vol de 19°, sin 19° = 0,3256
La charge = C1 x sin i = 3150 x 0,3256 = 1027 kg. s'arrière enn avant
• Traînée
La traînée vaut :
Traînée = (Cx / 16) x S.V2 ; or V2 = G x 16 / Cz.S
Traînée = (Cx.S x G x 16) / (16 x Cz x S) = (Cx / Cz) x G
Les valeurs de la portance et de la traînée pour i = 19° sont prises sur la polaire (figure f8.2.1-2)
Pour i = 19°, 100 Cx = 150, et 100 Cz = 14,6
Traînée = 14,6 / 150 x 550 = 53,5
Et avec un coefficient 7 :
Traînée = 53,5 x 7 = 374,5 kg. d'arrière en avant.
Et l'effort résultant :
Effort résultant = 1027 - 374,5 = 652,5 kg. d'arrière en avant.
♦ 3e cas de vol : incidence i à vitesse maximum = 2°6
• Incidence
L'incidence i à vitesse maximum est de 2°6 ; sin 2°6 = 0,041
C3 = 5,25 (G - gc) = 5,25 (550 - 100) = 2360 kg.
C3 sin i = C3 sin 2°6 = 2360 x 0,041 = 97 kg. d'arrière en avant.
• Traînée
La traînée vaut :
Traînée = n3 . Cx / 16 .SV2
Or d'après la polaire (figure f8.2.1-2),
V = 165,5 km./h. = 46 m./s. ⇒ V2 = 462 = 2116
Cx pour 2°6 = 0,0105.
Traînée = 5,25 x 0,0105 / 16 x 14,5 x 2116 = 105,5 kg. d'avant en arrière.
Et l'effort résultant :
Effort résultant = 105,5 - 97 = 8,5 kg. d'avant en arrière.
Les efforts dans les longerons, les entretoises et les diagonales sont donnés par un tracé de Crémona.
• Règle de Crémona :
Elle s'applique aux nœuds où il n'y a que deux barres de direction connue mais dont les efforts sont inconnus.
Si l'on considère chaque nœud individuellement, on trace un polygone fermé correspondant à chacun d'eux. Chaque côté du polygone est parallèle à une des barres aboutissant à ce nœud. Chacune des barres est envisagée une par une et en tournant toujours dans le même sens.
La longueur de chaque ligne est proportionnelle à l'effort (connu pour n - 2 barres) dans chacune des barres. Si la force se dirige vers le nœud, la barre est comprimée, elle est tendue dans le cas contraire.
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-9 R.G. Desgrandschamps)
Appliquons dans le plan de l'aile un effort de 652,5 kg, soit 652,5 / 9,4 = 69,4 kg./mètre d'arrière en avant.
Chaque nœud encaisse un effort proportionnel à la demi-distance qui le sépare du ou des nœuds voisins (figure ci-dessus).
Chaque nœud supporte les charges ci-dessous :
Le nœud d'emplanture : 69,4 x (1,25 / 2) = 43 kg.
Le nœud suivant : 69,4 x (1,25 / 2 + 1,45 / 2) = 94 kg.
Le nœud suivant : 69,4 x (1,45 / 2 + 1,45 / 2) = 100 kg.
Le nœud de cabane : 69,4 x (1,45 / 2 + 1,10 / 2) = 89 kg.
Le tracé de Crémona donne les efforts de traction (-) ou de compression (+) pour chaque barre. Pour les longerons, on ne retient que les efforts de compression qui s'ajoutent à ceux trouvés précédemment, et qui représentent donc le cas le plus défavorable.
8.2.1-5) Efforts dans la cabane
On doit étudier les faces avant et arrière ainsi que les faces latérales droite et gauche. Les mâts sont des éléments communs aux deux faces. Les efforts verticaux et en bout concernent uniquement les plans frontaux.
♦ Compression en ressource pour la face avant
• Compression dans le mât avant
La ressource est le seul cas à étudier car c'est elle qui donne les efforts maximum. La ressource donne dans le mât avant la compressioin suivante:
Compression mât avant = RA = 751 kg.
• Compression dans les croisillons frontaux
Si les charges sont identiques sur les deux demi-ailes, les croisillons frontaux ne travaillent pas. Mais il nous faut tenir compte d'un éventuel coup d'aileron ou d'une rafale dissymétrique. Dans ce cas on peut admettre un effort vertical qui affecte un seul côté avec un facteur de charge de 2,5. L'effort vertical est égal à la somme des deux réactions d'appui, RA et RB.
Au facteur de charge = 7,
RA + RB = 751 + 439 = 1190 kg.
Au facteur de charge = 2,5,
RA + RB = 1190 x 2,5 / 7 = 425 kg.
Ceci donne (voir figure ci-dessous) une traction de - 1100 kg. dans le croisillon frontal.
• Surcharge dans le longeron entre articulations
On constate une compression supplémentaire dans la partie de longeron entre les articulations, qui est dûe à la surcharge de + 1000 kg. causée par RB. Soit,
Surcharge (RB) = 1000 kg. x (RB / (RA + RB)) = 1000 kg. x (439 / (751 + 439)) = 370 kg.
Cette compression s'ajoute à la compression de 1480 kg. calculée pour les efforts en bout.
Efforts dans la cabane (fig. 8.2.1-10 R.G. Desgrandschamps)
♦ Compression en ressource pour la face arrière
Pour la face arrière, les calculs sont identiques à condition de prendre en compte le rapport des charges avant et arrière.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
♦ Compression en ressource pour les faces latérales
Pour les faces latérales, les efforts en plan infligent à l'entretoise une charge de + 326 kg., une traction de - 390 kg. dans le croisillon, et une compression de + 210 kg. dans le mât.
Compression en ressource pour les faces latérales (fig. 8.2.1-11 R.G. Desgrandschamps)
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:32
8.2.1-6) Résumé des efforts subis
Moments de flexion pour une aile articulée en B avec un point d'appui en A (fig. 8.2.1-6 R.G. Desgrandschamps)
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-9 R.G. Desgrandschamps)
♦ Le longeron avant de l'aile
• Efforts de flexion dus à la poussée, variables en tous points (figure f8.2.1-6).
• Efforts tranchants dus à la poussée, variables en tous points (figure f8.2.1-6).
• Efforts en bout :
- Compression constante due à la tension de la toile = + 231 kg.
- Compression constante de A en B due à la réaction d'appui RA et à l'inclinaison du mât = + 1480 kg.
- Compression variable dans chaque travée, due à l'effort AR → AV (figure f8.2.1-9).
♦ Le longeron avant de la cabane
• Efforts de flexion (figure f8.2.1-6).
• Efforts tranchants (figure f8.2.1-6).
• Efforts en bout :
- Compression due à la tension de la toile = + 231 kg.
- Compression constante provenant de AB = + 1480 kg.
- Compression due à une charge dissymétrique = + 370 kg.
- Compression due à l'effort en plan = + 850 kg.
♦ Le mât oblique avant
• Effort de traction = - 1670 kg.
• Ou une compression = + 875 kg.
♦ Le mât avant de cabane
• Une compression due à la poussée = + 751 kg.
• Une compression due à l'effort en plan = + 210 kg.
♦ Les entretoises
• Compressions indiquées sur la figure f8.2.1-9.
♦ Les diagonales
• Efforts de tractions indiquées sur la figure f8.2.1-9.
♦ Le croisillon frontal de cabane
• Effort de traction = - 1100 kg.
♦ Le croisillon latéral de cabane
• Effort de traction = - 390 kg.
♦ Le longeron arrière de l'aile
De la même manière, on peut déterminer les efforts dans les éléments de la poutre arrière.
Pour le longeron arrière, on prend en compte le rapport des charges avant et arrière.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
2.1-7) Ailes multi-longeron : répartition des charges
Jusqu'ici nous avons réparti la charge sur deux longerons. A présent nous souhaitons connaître la répartition des charges le long du profil d'une aile ayant plus de deux longerons. Ceci va nous permettre de calculer la charge supportée par chaque longeron en fonction de sa position en profondeur
Pour ce calcul, on admet que la charge c est proportionnelle à une surface s (hachurée). On admet aussi que le centre de gravité de s est le centre de poussée situé à une distance d du bord d'attaque.
♦ 1er cas de calcul de la voilure
• 1er cas avec d > t / 3 (t étant la corde de l'aile)
Si le centre de poussée est à plus de 33% de la corde t, on peut représenter la charge c par un triangle de base t et de hauteur y, et dont le sommet se projette à une distance x du bord d'attaque.
Avec :
c = t.y / 2
y = 2.c / t
x = 3.d - t
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d > t / 3 (fig. 8.2.1-12 R.G. Desgrandschamps)
• 1er cas avec d = t / 3
La charge est représenbtée par un triangle rectangle.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d = t / 3 (fig. 8.2.1-13 R.G. Desgrandschamps)
• 1er cas avec d < t / 3 (cas des profils de la famille 23000)
La charge est représentée par trapèze, et un triangle rectangle dont le sommet est à une distance t / 5 du bord d'attaque.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d < t / 3 (fig. 8.2.1-14 R.G. Desgrandschamps)
Avec :
La charge c = s' + s''
s'.d' + s''.d'' = cd
D'où les coordonnées :
x = (2.c (6 - 15.Cm / Cz) x K) / t
y = (2.c (15.Cm / Cz - 1) x K) / 5.t
Avec :
K = échelle de la charge ⇒ K unités de surface = 1 kg.
♦ 3e cas de calcul de la voilure
(nous traitons le 2e cas ci-après)
Les coordonnées z et y soint données par les mêmes formules que ci-dessus. Suivant la position du centre de poussée, la valeur de z peut être :
• z positif (cf. fig. 8.2.1-14)
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z positif (fig. 8.2.1-14 R.G. Desgrandschamps)
• z nul (cf. fig. 8.2.1-15)
Pour :
Cm / Cz = 40%
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z nul (fig. 8.2.1-15 R.G. Desgrandschamps)
• z négatif (cf. fig. 8.2.1-16)
Pour z négatif, on obtient deux triangles. La charge c s'obtient en retranchant les surfaces s1 et s2. Compte tenu du signe différent de ces deux surfaces, leur centre de gravité total est à l'aplomb du centre de pression.
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z négatif (fig. 8.2.1-16 R.G. Desgrandschamps)
♦ 2e cas de calcul de la voilure
Pour le 2e cas de calcul, la représentation est la même que ci-dessus, sauf que les surfaces sont inversées par rapport à la corde puisque la charge, elle-même, est inversée.
Ailes multi-longeron : 2e cas de calcul, charges avec z négatif (fig. 8.2.1-17 R.G. Desgrandschamps)
♦ Application à notre avion type
Si nous reprenons notre avion avec les mêmes caractéristiques rappelées ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Nous pouvons calculer comment se répartit la charge le long d'un profil 23012, pour une profondeur moyenne de :
tm = S / b = 14,5 / 9,4 = 1,54 m.
• 1er cas de calcul
Charge totale c = 7 (550 - 100) = 3150 kg.
Charge au mètre courant c1 = p1 = 3150 / 9,4 = 335 kg.
Dans ce cas de calcul,
Le centre de poussée = 26% de t = Cm / Cz
On a donc une épure en forme de triangle-trapèze, avec t = 154 mm.
Si 1 kg. = 10 mm2 sur notre épure, K = 10, d'où les coordonnées :
z1 = (2.c1 (6 - (15.Cm / Cz)) x K) / t
z1 = 2 x 335 x ((6 - 15 x 0,26) x 10) / 154 = 91,5 mm.
y1 = (2.c1 ((15.Cm / Cz) - 1) x K) / 5.t
y1 = 2 x 335 x ((15 x 0,26 - 1) x 10) / 5 x 154 = 25,2 mm.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, répartition des charges (fig. 8.2.1-18 R.G. Desgrandschamps)
- Vérification (1er cas de calcul)
s1 = 30,8 x (91,5 + 25,2) / 2 = 1800 mm2.
s2 = 123,2 x 25 / 2 = 1550 mm2.
s1 + s2 = 3350 = c1 x K.
par ailleurs,
le centre de gravité du trapèze est à 12,5 mm. du bord d'attaque ;
le centre de gravité du triangle rectangle est au tiers de la base = 123,2 / 3 = 41,1 mm.,
soit à
41,1 + 30,8 = 71,9 mm. du bord d'attaque.
la distance entre les deux centres de gravité = 71,9 - 12,5 = 59,4 mm.
Le rapport des surfaces (ou forces) = 1800 / 1550 = 1,16.
La distance 59,4 mm. doit donc être divisée en deux longueurs qui sont dans le même rapport,
soit
a = 27,5 et b = 31,9.
Le centre de gravité global se trouve donc à
Cg global à 12,5 + 27,5 = 40 mm. du bord d'attaque
Et comme 26% de t = 0,26 x 154 = 40 mm., ceci démontre que notre épure répond aux conditions du principe énoncé ci-dessus.
• 2e cas de calcul (rafale descendante)
Charge totale c = 1650 kg.
Charge au mètre courant = c2 = 1650 / 9,4 = 175,5 kg.
Comme le centre de pression se trouve toujours à 26% de t, les coordonnées z et y sont proportionnelles aux valeurs du 1er cas de calcul, dans le rapport 175,5 / 335 = 0,525, d'où
z2 = 48 mm. dirigée vers le bas
y2 = 13,2 mm. dirigée vers le bas
(cf. partie basse de la figure f8.2.1-18)
• 3e cas de calcul (vitesse maximum)
Charge au mètre courant = c3 = c1 x (5,25 / 7) = 0,75 x c1
et comme le centre de pression se trouve aussi à 26% de t, les coordonnées z3 et y3 valent 0,75 z1 et y1 :
z3 = 0,75 x z1 = 68,5 mm. dirigée vers le haut ;
y3 = 0,75 x y1 = 18,9 mm. dirigée vers le haut.
On constate que le tracé de la ligne 3 est inclus dans sa totalité à l'intérieur de la ligne 1 : ce cas de calculs n'apporte donc rien à notre calcul de voilure.
Pour notre calcul de voilure, il suffit donc de retenir les lignes 1 et 2 : la ligne 1 pour les charges vers le haut et la ligne 2 pour les charges vers le bas.
Exemple d'une aile rectangulaire à quatre longerons
Supposons que notre aile est dotée à présent de quatre longerons I, II, III, IV, disposés comme sur la figure f8.2.1-18. Pour calculer la charge supportée par chaque longeron, on divise la distance entre deux longerons consécutifs en deux longueurs égales :
On en déduit les charges suivantes :
• Longeron I
cI = 25 x (91,5 + 38,5) / 2 = 1625 kg. = 48,5%.
• Longeron II
cII = (6 x (38,5 + 25,2) / 2) + (24 x (25,2 + 20) / 2) = 190 + 542 = 732 kg. = 21,8%.
• Longeron III
cIII = 30 x (20 + 14) / 2 = 510 kg. = 15,2%.
• Longeron IV
cIV = 69 x 14 / 2 = 483 kg. = 14,5%.
• Total
3350 kg. = 100%.
Ces proportions en pourcentage nous permettent de tracer la courbe des moments (M) et celle des efforts tranchants (T) à condition de répartir M et T proportionnellement à la charge de chaque longeron.
♦ Aile trapézoïdale à quatre longerons
Avec une aile trapézoïdale, de la même manière, on peut établir une proportionnalité et attribuer à chaque longeron une charge unitaire proportionnelle.
Si la distance de chaque longeron au centre de poussée varie tout le long de l'envergure, on doit juste en tenir compte : le calcul sera bien entendu un peu plus long...
Remarque générale :
R.G. Desgrandschamps attire notre attention sur le fait que l'approche simple du calcul d'une cellule d'avion n'est pas rigoureuse, telle qu'il nous la propose. Les efforts peuvent être modifiés par différents facteurs : les déformations de la poutre ou les dénivellations des appuis dans les cellules haubannées ou biplanes. Si l'on voulait préciser ces calculs, il faudrait les compliquer beaucoup et introduire de nouvelles hypothèses et de nouvelles approximations.
Par ailleurs des calculs appliqués à des matériaux hétérogènes et à des assemblages imparfaits ne peuvent être qu'approximatifs !
C'est précisément pour parer à toutes ces imperfections qu'on a introduit le coefficient de sécurité.
Autres types de cellules :
Le document de R.G. Desgrandschamps, auquel nous vous invitons à vous reporter, traite également des cas suivants :
♦ Cellule semi-cantilever articulée sur un point central
♦ Cellule semi-cantilever appuyée au centre
♦ Cellule biplane
♦ Aile cantilever trapézoïdale bilongeron
♦ Aile cantilever rectangulaire
♦ Aile cantilever à revêtement bois travaillant
♦ Aile monolongeron
Moments de flexion pour une aile articulée en B avec un point d'appui en A (fig. 8.2.1-6 R.G. Desgrandschamps)
Charges sur les longerons en vol à incidence 19° (fig. 8.2.1-9 R.G. Desgrandschamps)
♦ Le longeron avant de l'aile
• Efforts de flexion dus à la poussée, variables en tous points (figure f8.2.1-6).
• Efforts tranchants dus à la poussée, variables en tous points (figure f8.2.1-6).
• Efforts en bout :
- Compression constante due à la tension de la toile = + 231 kg.
- Compression constante de A en B due à la réaction d'appui RA et à l'inclinaison du mât = + 1480 kg.
- Compression variable dans chaque travée, due à l'effort AR → AV (figure f8.2.1-9).
♦ Le longeron avant de la cabane
• Efforts de flexion (figure f8.2.1-6).
• Efforts tranchants (figure f8.2.1-6).
• Efforts en bout :
- Compression due à la tension de la toile = + 231 kg.
- Compression constante provenant de AB = + 1480 kg.
- Compression due à une charge dissymétrique = + 370 kg.
- Compression due à l'effort en plan = + 850 kg.
♦ Le mât oblique avant
• Effort de traction = - 1670 kg.
• Ou une compression = + 875 kg.
♦ Le mât avant de cabane
• Une compression due à la poussée = + 751 kg.
• Une compression due à l'effort en plan = + 210 kg.
♦ Les entretoises
• Compressions indiquées sur la figure f8.2.1-9.
♦ Les diagonales
• Efforts de tractions indiquées sur la figure f8.2.1-9.
♦ Le croisillon frontal de cabane
• Effort de traction = - 1100 kg.
♦ Le croisillon latéral de cabane
• Effort de traction = - 390 kg.
♦ Le longeron arrière de l'aile
De la même manière, on peut déterminer les efforts dans les éléments de la poutre arrière.
Pour le longeron arrière, on prend en compte le rapport des charges avant et arrière.
C1 AR / C1 AV = 770 / 2380 = 0,3235
2.1-7) Ailes multi-longeron : répartition des charges
Jusqu'ici nous avons réparti la charge sur deux longerons. A présent nous souhaitons connaître la répartition des charges le long du profil d'une aile ayant plus de deux longerons. Ceci va nous permettre de calculer la charge supportée par chaque longeron en fonction de sa position en profondeur
Pour ce calcul, on admet que la charge c est proportionnelle à une surface s (hachurée). On admet aussi que le centre de gravité de s est le centre de poussée situé à une distance d du bord d'attaque.
♦ 1er cas de calcul de la voilure
• 1er cas avec d > t / 3 (t étant la corde de l'aile)
Si le centre de poussée est à plus de 33% de la corde t, on peut représenter la charge c par un triangle de base t et de hauteur y, et dont le sommet se projette à une distance x du bord d'attaque.
Avec :
c = t.y / 2
y = 2.c / t
x = 3.d - t
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d > t / 3 (fig. 8.2.1-12 R.G. Desgrandschamps)
• 1er cas avec d = t / 3
La charge est représenbtée par un triangle rectangle.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d = t / 3 (fig. 8.2.1-13 R.G. Desgrandschamps)
• 1er cas avec d < t / 3 (cas des profils de la famille 23000)
La charge est représentée par trapèze, et un triangle rectangle dont le sommet est à une distance t / 5 du bord d'attaque.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, charges avec d < t / 3 (fig. 8.2.1-14 R.G. Desgrandschamps)
Avec :
La charge c = s' + s''
s'.d' + s''.d'' = cd
D'où les coordonnées :
x = (2.c (6 - 15.Cm / Cz) x K) / t
y = (2.c (15.Cm / Cz - 1) x K) / 5.t
Avec :
K = échelle de la charge ⇒ K unités de surface = 1 kg.
♦ 3e cas de calcul de la voilure
(nous traitons le 2e cas ci-après)
Les coordonnées z et y soint données par les mêmes formules que ci-dessus. Suivant la position du centre de poussée, la valeur de z peut être :
• z positif (cf. fig. 8.2.1-14)
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z positif (fig. 8.2.1-14 R.G. Desgrandschamps)
• z nul (cf. fig. 8.2.1-15)
Pour :
Cm / Cz = 40%
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z nul (fig. 8.2.1-15 R.G. Desgrandschamps)
• z négatif (cf. fig. 8.2.1-16)
Pour z négatif, on obtient deux triangles. La charge c s'obtient en retranchant les surfaces s1 et s2. Compte tenu du signe différent de ces deux surfaces, leur centre de gravité total est à l'aplomb du centre de pression.
Ailes multi-longeron : 3e cas de calcul, charges avec z négatif (fig. 8.2.1-16 R.G. Desgrandschamps)
♦ 2e cas de calcul de la voilure
Pour le 2e cas de calcul, la représentation est la même que ci-dessus, sauf que les surfaces sont inversées par rapport à la corde puisque la charge, elle-même, est inversée.
Ailes multi-longeron : 2e cas de calcul, charges avec z négatif (fig. 8.2.1-17 R.G. Desgrandschamps)
♦ Application à notre avion type
Si nous reprenons notre avion avec les mêmes caractéristiques rappelées ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Nous pouvons calculer comment se répartit la charge le long d'un profil 23012, pour une profondeur moyenne de :
tm = S / b = 14,5 / 9,4 = 1,54 m.
• 1er cas de calcul
Charge totale c = 7 (550 - 100) = 3150 kg.
Charge au mètre courant c1 = p1 = 3150 / 9,4 = 335 kg.
Dans ce cas de calcul,
Le centre de poussée = 26% de t = Cm / Cz
On a donc une épure en forme de triangle-trapèze, avec t = 154 mm.
Si 1 kg. = 10 mm2 sur notre épure, K = 10, d'où les coordonnées :
z1 = (2.c1 (6 - (15.Cm / Cz)) x K) / t
z1 = 2 x 335 x ((6 - 15 x 0,26) x 10) / 154 = 91,5 mm.
y1 = (2.c1 ((15.Cm / Cz) - 1) x K) / 5.t
y1 = 2 x 335 x ((15 x 0,26 - 1) x 10) / 5 x 154 = 25,2 mm.
Ailes multi-longeron : 1er cas de calcul, répartition des charges (fig. 8.2.1-18 R.G. Desgrandschamps)
- Vérification (1er cas de calcul)
s1 = 30,8 x (91,5 + 25,2) / 2 = 1800 mm2.
s2 = 123,2 x 25 / 2 = 1550 mm2.
s1 + s2 = 3350 = c1 x K.
par ailleurs,
le centre de gravité du trapèze est à 12,5 mm. du bord d'attaque ;
le centre de gravité du triangle rectangle est au tiers de la base = 123,2 / 3 = 41,1 mm.,
soit à
41,1 + 30,8 = 71,9 mm. du bord d'attaque.
la distance entre les deux centres de gravité = 71,9 - 12,5 = 59,4 mm.
Le rapport des surfaces (ou forces) = 1800 / 1550 = 1,16.
La distance 59,4 mm. doit donc être divisée en deux longueurs qui sont dans le même rapport,
soit
a = 27,5 et b = 31,9.
Le centre de gravité global se trouve donc à
Cg global à 12,5 + 27,5 = 40 mm. du bord d'attaque
Et comme 26% de t = 0,26 x 154 = 40 mm., ceci démontre que notre épure répond aux conditions du principe énoncé ci-dessus.
• 2e cas de calcul (rafale descendante)
Charge totale c = 1650 kg.
Charge au mètre courant = c2 = 1650 / 9,4 = 175,5 kg.
Comme le centre de pression se trouve toujours à 26% de t, les coordonnées z et y sont proportionnelles aux valeurs du 1er cas de calcul, dans le rapport 175,5 / 335 = 0,525, d'où
z2 = 48 mm. dirigée vers le bas
y2 = 13,2 mm. dirigée vers le bas
(cf. partie basse de la figure f8.2.1-18)
• 3e cas de calcul (vitesse maximum)
Charge au mètre courant = c3 = c1 x (5,25 / 7) = 0,75 x c1
et comme le centre de pression se trouve aussi à 26% de t, les coordonnées z3 et y3 valent 0,75 z1 et y1 :
z3 = 0,75 x z1 = 68,5 mm. dirigée vers le haut ;
y3 = 0,75 x y1 = 18,9 mm. dirigée vers le haut.
On constate que le tracé de la ligne 3 est inclus dans sa totalité à l'intérieur de la ligne 1 : ce cas de calculs n'apporte donc rien à notre calcul de voilure.
Pour notre calcul de voilure, il suffit donc de retenir les lignes 1 et 2 : la ligne 1 pour les charges vers le haut et la ligne 2 pour les charges vers le bas.
Exemple d'une aile rectangulaire à quatre longerons
Supposons que notre aile est dotée à présent de quatre longerons I, II, III, IV, disposés comme sur la figure f8.2.1-18. Pour calculer la charge supportée par chaque longeron, on divise la distance entre deux longerons consécutifs en deux longueurs égales :
On en déduit les charges suivantes :
• Longeron I
cI = 25 x (91,5 + 38,5) / 2 = 1625 kg. = 48,5%.
• Longeron II
cII = (6 x (38,5 + 25,2) / 2) + (24 x (25,2 + 20) / 2) = 190 + 542 = 732 kg. = 21,8%.
• Longeron III
cIII = 30 x (20 + 14) / 2 = 510 kg. = 15,2%.
• Longeron IV
cIV = 69 x 14 / 2 = 483 kg. = 14,5%.
• Total
3350 kg. = 100%.
Ces proportions en pourcentage nous permettent de tracer la courbe des moments (M) et celle des efforts tranchants (T) à condition de répartir M et T proportionnellement à la charge de chaque longeron.
♦ Aile trapézoïdale à quatre longerons
Avec une aile trapézoïdale, de la même manière, on peut établir une proportionnalité et attribuer à chaque longeron une charge unitaire proportionnelle.
Si la distance de chaque longeron au centre de poussée varie tout le long de l'envergure, on doit juste en tenir compte : le calcul sera bien entendu un peu plus long...
Remarque générale :
R.G. Desgrandschamps attire notre attention sur le fait que l'approche simple du calcul d'une cellule d'avion n'est pas rigoureuse, telle qu'il nous la propose. Les efforts peuvent être modifiés par différents facteurs : les déformations de la poutre ou les dénivellations des appuis dans les cellules haubannées ou biplanes. Si l'on voulait préciser ces calculs, il faudrait les compliquer beaucoup et introduire de nouvelles hypothèses et de nouvelles approximations.
Par ailleurs des calculs appliqués à des matériaux hétérogènes et à des assemblages imparfaits ne peuvent être qu'approximatifs !
C'est précisément pour parer à toutes ces imperfections qu'on a introduit le coefficient de sécurité.
Autres types de cellules :
Le document de R.G. Desgrandschamps, auquel nous vous invitons à vous reporter, traite également des cas suivants :
♦ Cellule semi-cantilever articulée sur un point central
♦ Cellule semi-cantilever appuyée au centre
♦ Cellule biplane
♦ Aile cantilever trapézoïdale bilongeron
♦ Aile cantilever rectangulaire
♦ Aile cantilever à revêtement bois travaillant
♦ Aile monolongeron
enrimores- Pilote
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:36
8.2.2 Construction d'un longeron
8.2.2-1) Les principes de construction d'un longeron
Deux principes sont couramment utilisés :
- longeron encaissant uniquement la flexion
- longeron encaissant la flexion et la torsion
Longeron encaissant uniquement la flexion :
La largeur est souvent conservée constante pour faciliter la fabrication et montage des nervures.
Longeron travaillant uniquement en flexion (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
La semelle supérieure a une section plus importante que la semelle inférieure car le bois n'aime pas la compression.
longeron encaissant la flexion et la torsion :
L'épaisseur des semelles est constante. Les âmes et revêtement forment le caisson de torsion.
Longeron travaillant en flexion ET en torsion (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Longeron d'un Robin DR400, vue éclatée (fig. G. P.)
Pour en savoir plus : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
8.2.2-2) Construction du longeron avant
Nous reprenons comme exemple une aile bilongeron, haubannée, décrite sur la figure 8.2.2-3 ci-dessous. Cet exemple comporte des mâts, des entretoises, et les ferrures correspondantes. Nous dirons aussi un mot de ce qui se passe lorsque des variations brusques des efforts sont appliquées sur les longerons.
Exemple d'une aile bilongeron de demi-envergure 4,80 m. (fig. 8.2.2-3 R.G. Desgrandschamps)
Considérons en même temps l'épure de flexion et des efforts tranchants, et ajoutons sur ce même tracé les efforts en bout : les efforts t.t. dus à la tension de la toile, les charges de compression C1 constantes (entre A et B, et entre B et B'), ainsi que les charges de compression variables C2 due à l'effort en plan : voir figure 8.2.2-4 ci-dessous.
Flexion, efforts tranchants, et efforts en bout sur le longeron avant (fig. 8.2.2-4 R.G. Desgrandschamps)
Forme du longeron en bois
Le longeron en bois peut prendre plusieurs types de formes que l'on peut résumer à trois, avec des variantes possibles : voir figure 8.2.2-5 ci-dessous.
Trois types de formes pour un longeron en bois (fig. 8.2.2-5 R.G. Desgrandschamps)
Le premier et le deuxième type de forme imposent d'avoir une âme d'au moins 6 mm. d'épaisseur, ce qui est beaucoup (et lourd). En effet, le taux de travail du bois brut au cisaillement est faible. Toutefois, le premier type est simple à construire.
Mais nous préférons le système caisson (3e type), car il est robuste, léger et peu gourmand en matériaux. Par économie et pour les raisons ci-dessous, les semelles sont en peuplier grisard et les flasques en contreplaqué d'okoumé. Les caractéristiques de résistance de ces bois sont donnés au § 6.6 "Les bois" du chapitre 6 "matériaux aéronautiques".
Un longeron qui travaille en flexion voit sa semelle supérieure comprimée et sa semelle inférieure tendue, ou inversement. Les parties de l'âme adjacentes aux semelles, en accompagnant la déformation des semelles, subit un effort tranchant (de glissement).
En raison de sa constitution naturelle, le bois resiste mal à ce type de travail (≈ 0,5 kg./mm2). Au contraire la constitution artificielle du contreplaqué basée sur des plis collés avec des fibres croisées, offre une meilleure résistance aux efforts tranchants.
Enfin, le toupillage du contreplaqué, qui a pour but d'en réduire le poids, à pour effet de trancher certaines fibres, diminuant ainsi la résistance et l'épaisseur utile ; de plus le toupillage laisse des chutes importantes. Il est donc à éviter dans ce cas.
Dimensions du longeron en bois
Le longeron doit être contenu dans le profil NACA 23012 (figure 8.2.2-6 ci-dessous), les dimensions qu'on peut en déduire sont les suivantes :
- profondeur = 1,40 m.
- hauteur du longeron avant = 132 mm., en tenant compte de l'épaiseur des chapeaux de nervures.
- largeur de semelle ≥ 20% de la hauteur = 26,4 mm. arrondis à 30 mm.
Le longeron avant dans son profil (fig. 8.2.2-6 R.G. Desgrandschamps)
• Epaisseur des semelles : on vérifie d'abord que la largeur de semelle (30 mm.) ne conduit pas à une épaisseur de semelle trop importante (en considérant la flexion uniquement).
Mmaximum / hauteur = compression / traction
= 145000 / 132 = 1100 kg.,
et à 3 kg./mm2 la compression impose une surface minimum de :
1100 / 3 = 366 mm2.
soit, pour notre largeur de 30, une épaisseur minimum de :
366 / 30 = 12,2 mm.
• Epaisseur des flasques : les parois latérales du longeron (ou flasques) sont entretoisées intérieurement afin de résister à un effort tranchant de 80 kg/cm2 de section ; pour résister à un effort tranchant maximum de 273,5 kg. il faut donc au moins :
Tmaximum / 80 = 273,5 / 80 = 3,4 cm2 de section.
Calculons la hauteur utile : c'est la hauteur totale (132 mm.) moins la hauteur des deux semelles (2 x 12,2 mm.) :
Hauteur utile = 132 - (2 x 12,2) = 107,6 mm., soit 21,5 cm pour les deux flasques.
L'épaisseur maximum nécessaire est donc :
3,4 / 21,5 = 0,158 cm., soit 16/10e de mm.
On peut calculer avec précision les semelles et les flasques d'un longeron en bois de la manière suivante :
Calcul des semelles d'un longeron en bois
Il n'est pas utile de calculer l'épaisseur de semelle nécessaire en de nombreux points. Il suffit de partir de l'épaisseur minimum requise pour ne pas avoir de rupture en cours de manutention, et pour pouvoir y fixer des nervures, soit 6 mm. d'épaisseur.
Calcul des semelles d'un longeron en bois (fig. 8.2.2-7 R.G. Desgrandschamps)
• Dans les travées 1 et 2 (de O à A - fig. 8.2.2-4) :
- Compression Dans la partie en porte à faux, la compression maximum est de 249 kg. pour 1 mètre maximum de longueur libre. Effectivement, on peut admettre que les nervures empêchent le flambage de l'avant vers l'arrière. Mais on ne peut pas compter sur les nervures dans le sens du haut vers le bas, il nous faut donc évaluer la longueur libre entre les entretoises.
Si l'on considère que la hauteur utile des flasques est totalement dédiée à l'effort tranchant, il reste pour la compression et la flexion :
ω = 6 x 2 x 30 = 360 mm2.
I = b (h3 - h'3) / 12 = 3 x (13,23 - 123) / 12 = 142 cm4 = 142 x 104 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (10002 x 360) / (104 x 124 x 104) = 1,025.
Travail dû à la compression maximum dans la travée :
249 x 1,025 / 360 = 0,71 kg.
Et comme le taux de résistance maximum est de 3 kg., ceci veut dire que la compression utilise :
0,71 / 3 = 23,7 % de la résistance maximum.
- Flexion
Il reste donc enfin 100 - 23,7 = 76,3 % utilisables pour la flexion.
Nous avons vu par ailleurs (§6.6) que le taux de flexion spécifique du peuplier grisard est de 900 kg/cm2. Ceci veut dire que :
M / 2 I / h4/3 ≥ 0,763 x 900 = 687 ;
2 I = 2 x 142 cm4 ;
h4/3 = 13,24/3 = 3√13,24 = 31,1;
2 I / h4/3 = 284 / 31,1 = 9,1 ;
D'où
M admissible = 9,1 x 687 = 6250 kg/cm. = 62,5 kgm.
Sur l'épure de flexion, l'ordonnée de 62,5 kgm. correspond à une abscisse de 88 cm. à partir de l'extrémité. Ceci veut dire que sur une longueur arrondie à 85 cm. de O en a, une semelle de 6 mm. d'épaisseur est suffisante, et ensuite, après ces premiers 85 cm., on colle une deuxième semelle de 6 mm. prolongée par un biseau de cinq fois l'épaisseur, soit 30 mm. (voir figure 8.2.2-8)
Doublage de la semelle d'un longeron en bois par collage d'une deuxième semelle (fig. 8.2.2-8 R.G. Desgrandschamps)
Doublage de la semelle d'un longeron en bois par collage d'une deuxième semelle (fig. 8.2.2-9 R.G. Desgrandschamps)
Comme le montre la figure 8.2.2-9 (ci-contre à gauche), avec la 2e semelle, la section est doublée :
ω = 2 x 360 = 720 mm2.
I = 3 x (13,23 - 10,83) / 12 = 260 cm4 = 260 x 104 mm4.
En compression, les semelles doubles, 12 mm. travaillent à peu près à la moitié du taux des semelles simples, 6 mm. Comme l'effort est le même, que la section est le double et que le coefficient correctif est, lui aussi, très voisin de 1, le travail à la compression vaut 12 %.
Le moment admissible est donc le suivant :
M admissible = (2 x 260 / 31,1) x (1 - 0,12) x 900 = 13500 kg/cm. = 135 kgm.
Ce moment est valable jusqu'à 5 cm. de l'attache du mât, de a en b. A partir du point b, il faut ajouter une nouvelle épaisseur de semelle, comme le montre la figure 8.2.2-4.
Voyons à présent ce qui se passe au niveau des travées suivantes. Jusqu'ici, nous avons effectué notre calcul en additionnant en pourcentage l'effort en bout (ou axial) et l'effort de flexion. On peut toujours utiliser ce mode de calcul pour les autres travées, mais on peut le simplifier encore plus en tenant compte du fait que, dans notre cas, le coefficient additionnel de Rankine-Résal (k.l2.ω / I) s'écarte très peu de l'unité. Dans les calculs qui suivent, nous conservons donc ce coefficient : CRR = 1,025 et nous calculons séparément les épaisseurs nécessaires à la compression et à la flexion.
• Dans la travée 3 (de A à ≈ e - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1485 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 8,5 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - trois épaisseurs, soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - A) :
Epaisseurflexion = 18 - 8,5 = 9,5 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,33) / 12 = 215 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 215 / 31,1) x 900 = 12500 kg/cm. = 125 kgm.
Ces valeurs sont valables de c jusqu'à la fin de la travée. Cependant, de A à c, il faut ajouter une surépaisseur (fig. 8.2.2-4).
Calcul des épaisseurs de semelle d'un longeron en bois (fig. 8.2.2-10 R.G. Desgrandschamps)
Dans la travée 3, on peut faire une économie d'épaisseur de d à e, dans la zone de faible flexion :
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - B) :
Epaisseurfl(d-e) = 12 - 8,5 = 3,5 mm. par semelle de d à e pour la flexion.
d'où :
Ifl(d-e) = 3 x (13,23 - 12,53) / 12 = 87,5 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 87,5 / 31,1) x 900 = 5070 kg/cm. = 50,7 kgm.
Ces valeurs sont valables de d à e (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 4 (entre ≈ e et ≈ g - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1614 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 1650 / 180 = 9,15 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - trois épaisseurs, soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - C) :
Epaisseurflexion = 18 - 9,15 = 8,85 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,433) / 12 = 200 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 200 / 31,1) x 900 = 11500 kg/cm. = 115 kgm.
Ces valeurs sont valables sur toute la travée 4 (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 5 (de ≈ g à B - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1781 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 10 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - D) :
Epaisseurflexion = 12 - 10 = 2 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 12,83) / 12 = 50 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 50 / 31,1) x 900 = 2900 kg/cm. = 29 kgm.
Ces valeurs sont valables de B à f sur 15 cm. d'envergure. (fig. 8.2.2-4).
- Flexion de f à g - Comme pour la travée 4, 3 épaisseurs suffisent de f à g : soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - E) :
Epaisseurflexion = 18 - 10 = 8 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,63) / 12 = 187 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 187 / 31,1) x 900 = 10800 kg/cm. = 108 kgm.
Ces valeurs sont valables de f à g. (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 6 (longeron de cabane entre B et B' - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = 1981 / (2 x 30 x 3) = 11 mm. d'épaisseur pour la compression.
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - F) :
Epaisseurflexion = 12 - 11 = 1 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 133) / 12 = 25 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 25 / 31,1) x 900 = 1500 kg/cm. = 15 kgm.
Ces valeurs sont valables pour toute la travée 6, entre B et B'. (fig. 8.2.2-4).
Flexion, efforts tranchants, et efforts en bout sur le longeron avant (fig. 8.2.2-4 R.G. Desgrandschamps)
Calcul des flasques d'un longeron en bois
Les flasques sont réalisées en contreplaqué de 1,6 mm. d'épaisseur. Avec une épaisseur de semelles de 18 mm., la hauteur de flasques à inclure dans le calcul de l'effort tranchant est le suivant :
hauteur de flasques = 132 - (2 x 18) = 96 mm. de hauteur ;
section = 2 x 96 x 1,6 = 307 mm2. = 3,07 cm2.
Si l'on entretoise à l'aide de petits diaphragmes tels que le côté de chaque maille soit au plus de 1,6 x 80 = 128 mm. nous pouvons compter sur
80 kg/cm2, soit :
80 x 3,07 = 246 kg.
Ceci veut dire cette épaisseur de flasque est suffisante sur toute l'envergure du longeron, sauf de k à A, soit sur 20 cm. (fig. 8.2.2-4). Sur cette portion, les flasques doivent être renforcés par une surépaisseur de contreplaqué de 1,2 mm.
Du reste, à proximité du maximum d'effort tranchant, l'épaisseur des semelles est de 4 x 6 = 24 mm. ; donc, la hauteur hT utilisable pour l'effort tranchant n'est que de :
hT = 132 - (2 x 24) = 84 mm. de hauteur ;
section = 84 x (1,6 + 1,2) x 2 = 470 mm2. = 4,7 cm2.
Effort tranchant admissible :
4,7 x 80 = 376 kg. > 273,5, qui est le chiffre maximum relevé sur l'épure.
Les petits diaphragmes sont réalisés en planchettes de 5 mm. et placés tous les 125 mm.
Le schéma du longeron est établi, et son poids définitif connu, lorsqu'on sait où sont placées les ferrures, car ces dernières nécessitent d'introduire à l'intérieur du caisson des remplissages en bois de dimensions variables.
Entures
Parfois le longeron est trop long pour que sa semelle soit d'une seule pièce. Dans ce cas on réunit plusieurs morceaux de semelle par des entures ou assemblages en biseaux dont la longueur représente douze fois l'épaisseur de la planche. Les entures sont contrariées, c'est à dire qu'elles ne doivent pas se correspondre en haut et en bas.
Autres modes de fabrication des semelles
• Semelle d'épaisseur variable taillée dans la masse
Si l'on taille l'épaisseur variable de la semelle dans une même planche (voir fig. 8.2.2-12), on gagne un petit peu de poids mais, évidemment, on perd beaucoup plus de chute.
Semelle d'épaisseur variable taillée dans la masse (fig. 8.2.2-12 R.G. Desgrandschamps)
Mais attention, il est risqué d'utiliser ce procédé pour des semelles épaisses car on n'est jamais certain que le bois soit parfaitement sain et régulier dans la masse. Enfin, compte tenu du grand nombre de fibres tranchées, on est tenté de maroufler pour redonner de la rigidité aux surfaces taillées en biseau, ce qui fait perdre le gain de poids et de simplicité.
• Semelles en lamellé-collé
Lorsque les semelles sont épaisses, on peut les confectionner en lamelles collées à joints contrariés, ceci permet d'utiliser des éléments de faible longueur (voir fig. 8.2.2-13).
Semelles en lamellé-collé (fig. 8.2.2-13 R.G. Desgrandschamps)
• Semelles en lames collées verticalement
Dans le cas d'un longeron à section nettement oblique, longeron arrière ou faux longeron, il peut être intéressant de réaliser une semelle en lames collées verticalement car ceci évite de trancher trop de fibres (voir fig. 8.2.2-14).
Semelles en lames collées verticalement (fig. 8.2.2-14 R.G. Desgrandschamps)
8.2.3 entretoises et croisillons
L'épure de crémona, tirée du calcul des efforts, nous donne la répartition des charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1).
Charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1 R.G. Desgrandschamps)
• Croisillons
Si nous utilisons dans chaque travée des diagonales souples (en forme de croix de Saint André), nous avons un plan de croisillonnement supérieur et un plan de croisillonnement inférieur, chacun d'eux étant doublé.
Nous avons vu dans le chapitre sur les aciers, qu'avec une double corde de 1 mm. bouclée, on obtient une résistance de :
2 x 130 = 260 kg.,
Cette résistance est suffisante pour toutes les travées ; notons aussi que les cordes inverses ont le même diamètre.
• Entretoises
En ce qui concerne les entretoises, le plus grand effort indiqué par l'épure de Crémona ne suffit pas au calcul. En plus de celui-ci, les entretoises supportent effectivement les surcharges dûes à la tension initiale des croisillons inverses. On peut estimer cette tension à la demi-charge de rupture, y compris le facteur de charge.
Par exemple, si l'on prend l'entretoise qui sépare les travées 4 et 5, sa charge maximum indiquée par l'épure est de 126 kg. En réalité, cette traverse supporte une charge plus élevée, causée par la tension initiale. Au repos, chaque semelle supporte la composante de la traction initiale des quatre cordes, traction qui est évaluée à la demi-charge de rupture, soit 130 / 2 = 65 kg. par corde. La projection de ces 65 kg. sur l'entretoise est de 35 kg. (voir fig. 8.2.3-2).
Charge supportée par une entretoise (fig. 8.2.3-2 R.G. Desgrandschamps)
Pour l'entretoise entière qui comporte deux semelles, la charge est de :
2 x 4 x 35 = 280 kg.,
ce qui est > 126 kg. On fait donc le calcul pour 280 kg.
Une entretoise en bois peut se concevoir de différentes façons (voir fig. 8.2.3-3) :
- en treillis (a), ce cas étant adapté aux fortes charges,
- en caisson avec flasque de contreplaqué (b),
- en bois toupillé (c),
- ou en double T avec âme en contreplaqué, ce cas étant réservé aux faibles charges.
Différentes formes d'entretoises en bois (fig. 8.2.3-3 R.G. Desgrandschamps)
Dans notre cas, nous utilisons la forme "d" (en double T). Les semelles des entretoises s'appuient sur les semelles du longeron, avec des petites ferrures de croisillonnage interposées (voir fig. 8.2.3-4).
Une entretoise en double T avec âme en contreplaqué, entre les longerons avant et arrière (fig. 8.2.3-4 R.G. Desgrandschamps)
Les semelles d'entretoises font h = 10 mm. sur l = 15 mm.
La hauteur de l'entretoise décroit régulièrement, de 132 mm. (hauteur du longeron avant), à 110 mm. (hauteur du longeron arrière). La section du plus grand flambage, au milieu de l'entretoise, est donc de 121 mm. (fig. 8.2.3-4).
ω = 2 x 15 x 10 = 300 mm2.,
I = (121 - 101) x 153 / 12 = 5600 mm4.,
Distance entre l'axe des longerons moins 30 mm. de largeur :
l = 630 - 30 = 600 mm.,
Coefficient de Rankine-Résal : { 1 + K.l2.ω / I } = 1 + (6002 x 300) / 104 x 5600 = 2,93.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 200 x 2,93 / 300 = 2,78 kg/mm2. (qui est < 3).
Les extrémités de l'entretoise, contre les longerons, sont terminées par des baguettes d'appui de 6 x 15 ; et environ tous les 10 cm., le contreplaqué est raidi par des lattes de 6 x 6 collées sur chacune des faces.
• Poids d'une telle entretoise
Volumes des lattes et baguettes en dm3 :
A la densité de 0,5 le poids est de 0,2385 x 0,5 = 0,11925 kg.
Volumes des contreplaqués = 0,012 x 1,2 x 6 = 0,0864 dm3 :
A la densité de 0,55 le poids est de 0,0864 x 0,55 = 0,04752 kg.
Pour la colle et les clous, il faut compter environ 20 % en plus. D'où le poids total de cette entretoise :
Poids total de l'entretoise = (0,11925 + 0,04752) x 1,2 = 0,200124 kg. (soit ~ 200 grammes).
8.2.4 Ferrures de croisillonnement plan (dans le plan de l'aile)
Diagonales en croix, tendues et souples
Croisillonnement par câbles dans le plan de l'aile (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
• Ferrure d'entretoise
Dans une cellule en bois, ces ferrures sont habituellement très simples : une plaquette de duralumin pliée encaisse l'effort des deux cordes inverses (voir la figure 8.2.4-1).
Ferrure d'entretoise représentée en place (à gauche) et développée (à droite) (fig. 8.2.4-1 R.G. Desgrandschamps)
Mais plusieurs sortes de glissements sont possibles entre la ferrure et l'entretoise :
- l'entretoise peut se déplacer latéralement par rapport à la ferrure, mais la pliage des pattes s'y oppose ;
- l'entretoise peut se déplacer de haut en bas par rapport à la ferrure : alors une simple vis de 2,5 mm. traversant la baguette d'extrémité de l'entretoise suffit à empêcher ce déplacement ;
- enfin l'ensemble entretoise-ferrure peut se déplacer par rapport au longeron, mais le croisillonnage et la compression s'y opposent. Pourtant, il est quand même prudent d'arrêter la ferrure par une vis de 3 mm. à tête fraisée, vissée de préférence dans la semelle du longeron par exemple (figure 8.2.4-1).
• Ferrure de tendeur (on s'arrange pour que les câbles tendus passent par les trous d'allègement des nervures)
Pour la plaquette de duralumin, on prend une épaisseur de e = 1,5 mm. Le tableau standard des tendeurs nous donne un axe de 3,5. La pression d'appui sera donc de :
Pression d'appui = 3,5 x e x R = 3,5 x 1,5 x 40 = 210 kg. (ce qui est > 130).
Le rayon r de la ferrure à l'attache du tendeur doit être au minimum de :
r = 1,3 x d = 1,3 x 3,5 = 4,55 mm. (soit ~ 5 mm.).
Section au cisaillement = 10 - 3,5 x 1,5 = 9,8 mm2.
Résistance = 9,8 x 40 x 3/4 = 294 kg. (ce qui est > 130).
A l'autre extrémité du croisillon, la corde est bouclée sur un axe traversant deux pattes jumelles qui jouent le même rôle que la chape du tendeur (fig. 8.2.4-2).
Ferrure de tendeur (fig. 8.2.4-2 R.G. Desgrandschamps)
On peut aussi fabriquer une ferrure en acier doux, de même développement que sur la figure 8.2.4-2, mais, pour empêcher le glissement de l'entretoise, cette ferrure serait munie d'une languette en acier de 1 mm. par exemple, soudée autogène, et une croix de languettes s'enfonçant dans la semelle du longeron (fig. 8.2.4-2 en bas à gauche).
Diagonale rigide unique
A la place de diagonales en croix, tendues et souples, nous pouvons utiliser une diagonale rigide unique qui travaille en traction ou en compression. Dans ce cas l'entretoise ne supporte que la charge indiquée par l'épure (fig. 8.2.3-1).
Charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1 R.G. Desgrandschamps)
Le système corde à piano - tendeur - ferrure est alors supprimé et la construction s'en trouve beaucoup plus simple. La diagonale est aboutée aux longerons et aux entretoises, mais en plus ces éléments sont reliés et renforcés par des goussets collés dans le cas où la diagonale travaille en traction (fig. 8.2.4-3).
Diagonale rigide unique et renforts par des goussets collés (fig. 8.2.4-3 R.G. Desgrandschamps)
8.2.2-1) Les principes de construction d'un longeron
Deux principes sont couramment utilisés :
- longeron encaissant uniquement la flexion
- longeron encaissant la flexion et la torsion
Longeron encaissant uniquement la flexion : La largeur est souvent conservée constante pour faciliter la fabrication et montage des nervures.
Longeron travaillant uniquement en flexion (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
La semelle supérieure a une section plus importante que la semelle inférieure car le bois n'aime pas la compression.
longeron encaissant la flexion et la torsion : L'épaisseur des semelles est constante. Les âmes et revêtement forment le caisson de torsion.
Longeron travaillant en flexion ET en torsion (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Longeron d'un Robin DR400, vue éclatée (fig. G. P.)
Pour en savoir plus : [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
8.2.2-2) Construction du longeron avant
Nous reprenons comme exemple une aile bilongeron, haubannée, décrite sur la figure 8.2.2-3 ci-dessous. Cet exemple comporte des mâts, des entretoises, et les ferrures correspondantes. Nous dirons aussi un mot de ce qui se passe lorsque des variations brusques des efforts sont appliquées sur les longerons.
Exemple d'une aile bilongeron de demi-envergure 4,80 m. (fig. 8.2.2-3 R.G. Desgrandschamps)
Considérons en même temps l'épure de flexion et des efforts tranchants, et ajoutons sur ce même tracé les efforts en bout : les efforts t.t. dus à la tension de la toile, les charges de compression C1 constantes (entre A et B, et entre B et B'), ainsi que les charges de compression variables C2 due à l'effort en plan : voir figure 8.2.2-4 ci-dessous.
Flexion, efforts tranchants, et efforts en bout sur le longeron avant (fig. 8.2.2-4 R.G. Desgrandschamps)
Forme du longeron en bois Le longeron en bois peut prendre plusieurs types de formes que l'on peut résumer à trois, avec des variantes possibles : voir figure 8.2.2-5 ci-dessous.
Trois types de formes pour un longeron en bois (fig. 8.2.2-5 R.G. Desgrandschamps)
Le premier et le deuxième type de forme imposent d'avoir une âme d'au moins 6 mm. d'épaisseur, ce qui est beaucoup (et lourd). En effet, le taux de travail du bois brut au cisaillement est faible. Toutefois, le premier type est simple à construire.
Mais nous préférons le système caisson (3e type), car il est robuste, léger et peu gourmand en matériaux. Par économie et pour les raisons ci-dessous, les semelles sont en peuplier grisard et les flasques en contreplaqué d'okoumé. Les caractéristiques de résistance de ces bois sont donnés au § 6.6 "Les bois" du chapitre 6 "matériaux aéronautiques".
Un longeron qui travaille en flexion voit sa semelle supérieure comprimée et sa semelle inférieure tendue, ou inversement. Les parties de l'âme adjacentes aux semelles, en accompagnant la déformation des semelles, subit un effort tranchant (de glissement).
En raison de sa constitution naturelle, le bois resiste mal à ce type de travail (≈ 0,5 kg./mm2). Au contraire la constitution artificielle du contreplaqué basée sur des plis collés avec des fibres croisées, offre une meilleure résistance aux efforts tranchants.
Enfin, le toupillage du contreplaqué, qui a pour but d'en réduire le poids, à pour effet de trancher certaines fibres, diminuant ainsi la résistance et l'épaisseur utile ; de plus le toupillage laisse des chutes importantes. Il est donc à éviter dans ce cas.
Dimensions du longeron en bois Le longeron doit être contenu dans le profil NACA 23012 (figure 8.2.2-6 ci-dessous), les dimensions qu'on peut en déduire sont les suivantes :
- profondeur = 1,40 m.
- hauteur du longeron avant = 132 mm., en tenant compte de l'épaiseur des chapeaux de nervures.
- largeur de semelle ≥ 20% de la hauteur = 26,4 mm. arrondis à 30 mm.
Le longeron avant dans son profil (fig. 8.2.2-6 R.G. Desgrandschamps)
• Epaisseur des semelles : on vérifie d'abord que la largeur de semelle (30 mm.) ne conduit pas à une épaisseur de semelle trop importante (en considérant la flexion uniquement).
Mmaximum / hauteur = compression / traction
= 145000 / 132 = 1100 kg.,
et à 3 kg./mm2 la compression impose une surface minimum de :
1100 / 3 = 366 mm2.
soit, pour notre largeur de 30, une épaisseur minimum de :
366 / 30 = 12,2 mm.
• Epaisseur des flasques : les parois latérales du longeron (ou flasques) sont entretoisées intérieurement afin de résister à un effort tranchant de 80 kg/cm2 de section ; pour résister à un effort tranchant maximum de 273,5 kg. il faut donc au moins :
Tmaximum / 80 = 273,5 / 80 = 3,4 cm2 de section.
Calculons la hauteur utile : c'est la hauteur totale (132 mm.) moins la hauteur des deux semelles (2 x 12,2 mm.) :
Hauteur utile = 132 - (2 x 12,2) = 107,6 mm., soit 21,5 cm pour les deux flasques.
L'épaisseur maximum nécessaire est donc :
3,4 / 21,5 = 0,158 cm., soit 16/10e de mm.
On peut calculer avec précision les semelles et les flasques d'un longeron en bois de la manière suivante :
Calcul des semelles d'un longeron en bois Il n'est pas utile de calculer l'épaisseur de semelle nécessaire en de nombreux points. Il suffit de partir de l'épaisseur minimum requise pour ne pas avoir de rupture en cours de manutention, et pour pouvoir y fixer des nervures, soit 6 mm. d'épaisseur.
Calcul des semelles d'un longeron en bois (fig. 8.2.2-7 R.G. Desgrandschamps)
• Dans les travées 1 et 2 (de O à A - fig. 8.2.2-4) :
- Compression Dans la partie en porte à faux, la compression maximum est de 249 kg. pour 1 mètre maximum de longueur libre. Effectivement, on peut admettre que les nervures empêchent le flambage de l'avant vers l'arrière. Mais on ne peut pas compter sur les nervures dans le sens du haut vers le bas, il nous faut donc évaluer la longueur libre entre les entretoises.
Si l'on considère que la hauteur utile des flasques est totalement dédiée à l'effort tranchant, il reste pour la compression et la flexion :
ω = 6 x 2 x 30 = 360 mm2.
I = b (h3 - h'3) / 12 = 3 x (13,23 - 123) / 12 = 142 cm4 = 142 x 104 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (10002 x 360) / (104 x 124 x 104) = 1,025.
Travail dû à la compression maximum dans la travée :
249 x 1,025 / 360 = 0,71 kg.
Et comme le taux de résistance maximum est de 3 kg., ceci veut dire que la compression utilise :
0,71 / 3 = 23,7 % de la résistance maximum.
- Flexion
Il reste donc enfin 100 - 23,7 = 76,3 % utilisables pour la flexion.
Nous avons vu par ailleurs (§6.6) que le taux de flexion spécifique du peuplier grisard est de 900 kg/cm2. Ceci veut dire que :
M / 2 I / h4/3 ≥ 0,763 x 900 = 687 ;
2 I = 2 x 142 cm4 ;
h4/3 = 13,24/3 = 3√13,24 = 31,1;
2 I / h4/3 = 284 / 31,1 = 9,1 ;
D'où
M admissible = 9,1 x 687 = 6250 kg/cm. = 62,5 kgm.
Sur l'épure de flexion, l'ordonnée de 62,5 kgm. correspond à une abscisse de 88 cm. à partir de l'extrémité. Ceci veut dire que sur une longueur arrondie à 85 cm. de O en a, une semelle de 6 mm. d'épaisseur est suffisante, et ensuite, après ces premiers 85 cm., on colle une deuxième semelle de 6 mm. prolongée par un biseau de cinq fois l'épaisseur, soit 30 mm. (voir figure 8.2.2-8)
Doublage de la semelle d'un longeron en bois par collage d'une deuxième semelle (fig. 8.2.2-8 R.G. Desgrandschamps)
Doublage de la semelle d'un longeron en bois par collage d'une deuxième semelle (fig. 8.2.2-9 R.G. Desgrandschamps)
Comme le montre la figure 8.2.2-9 (ci-contre à gauche), avec la 2e semelle, la section est doublée :
ω = 2 x 360 = 720 mm2.
I = 3 x (13,23 - 10,83) / 12 = 260 cm4 = 260 x 104 mm4.
En compression, les semelles doubles, 12 mm. travaillent à peu près à la moitié du taux des semelles simples, 6 mm. Comme l'effort est le même, que la section est le double et que le coefficient correctif est, lui aussi, très voisin de 1, le travail à la compression vaut 12 %.
Le moment admissible est donc le suivant :
M admissible = (2 x 260 / 31,1) x (1 - 0,12) x 900 = 13500 kg/cm. = 135 kgm.
Ce moment est valable jusqu'à 5 cm. de l'attache du mât, de a en b. A partir du point b, il faut ajouter une nouvelle épaisseur de semelle, comme le montre la figure 8.2.2-4.
Voyons à présent ce qui se passe au niveau des travées suivantes. Jusqu'ici, nous avons effectué notre calcul en additionnant en pourcentage l'effort en bout (ou axial) et l'effort de flexion. On peut toujours utiliser ce mode de calcul pour les autres travées, mais on peut le simplifier encore plus en tenant compte du fait que, dans notre cas, le coefficient additionnel de Rankine-Résal (k.l2.ω / I) s'écarte très peu de l'unité. Dans les calculs qui suivent, nous conservons donc ce coefficient : CRR = 1,025 et nous calculons séparément les épaisseurs nécessaires à la compression et à la flexion.
• Dans la travée 3 (de A à ≈ e - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1485 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 8,5 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - trois épaisseurs, soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - A) :
Epaisseurflexion = 18 - 8,5 = 9,5 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,33) / 12 = 215 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 215 / 31,1) x 900 = 12500 kg/cm. = 125 kgm.
Ces valeurs sont valables de c jusqu'à la fin de la travée. Cependant, de A à c, il faut ajouter une surépaisseur (fig. 8.2.2-4).
Calcul des épaisseurs de semelle d'un longeron en bois (fig. 8.2.2-10 R.G. Desgrandschamps)
Dans la travée 3, on peut faire une économie d'épaisseur de d à e, dans la zone de faible flexion :
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - B) :
Epaisseurfl(d-e) = 12 - 8,5 = 3,5 mm. par semelle de d à e pour la flexion.
d'où :
Ifl(d-e) = 3 x (13,23 - 12,53) / 12 = 87,5 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 87,5 / 31,1) x 900 = 5070 kg/cm. = 50,7 kgm.
Ces valeurs sont valables de d à e (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 4 (entre ≈ e et ≈ g - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1614 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 1650 / 180 = 9,15 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - trois épaisseurs, soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - C) :
Epaisseurflexion = 18 - 9,15 = 8,85 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,433) / 12 = 200 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 200 / 31,1) x 900 = 11500 kg/cm. = 115 kgm.
Ces valeurs sont valables sur toute la travée 4 (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 5 (de ≈ g à B - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = (1781 x 1,025) / (2 x 30 x 3) = 10 mm. par semelle pour la compression.
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - D) :
Epaisseurflexion = 12 - 10 = 2 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 12,83) / 12 = 50 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 50 / 31,1) x 900 = 2900 kg/cm. = 29 kgm.
Ces valeurs sont valables de B à f sur 15 cm. d'envergure. (fig. 8.2.2-4).
- Flexion de f à g - Comme pour la travée 4, 3 épaisseurs suffisent de f à g : soit 18 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - E) :
Epaisseurflexion = 18 - 10 = 8 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 11,63) / 12 = 187 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 187 / 31,1) x 900 = 10800 kg/cm. = 108 kgm.
Ces valeurs sont valables de f à g. (fig. 8.2.2-4).
• Dans la travée 6 (longeron de cabane entre B et B' - fig. 8.2.2-4) :
- Compression - la compression nécessite une épaisseur de semelle minimum de :
Epaisseurcompression = 1981 / (2 x 30 x 3) = 11 mm. d'épaisseur pour la compression.
- Flexion - deux épaisseurs, soit 12 mm., laissent pour la flexion (figure 8.2.2.10 - F) :
Epaisseurflexion = 12 - 11 = 1 mm. par semelle pour la flexion.
d'où :
Ifl = 3 x (13,23 - 133) / 12 = 25 cm4.
Moment admissible :
M admissible = (2 x 25 / 31,1) x 900 = 1500 kg/cm. = 15 kgm.
Ces valeurs sont valables pour toute la travée 6, entre B et B'. (fig. 8.2.2-4).
Flexion, efforts tranchants, et efforts en bout sur le longeron avant (fig. 8.2.2-4 R.G. Desgrandschamps)
Calcul des flasques d'un longeron en bois Les flasques sont réalisées en contreplaqué de 1,6 mm. d'épaisseur. Avec une épaisseur de semelles de 18 mm., la hauteur de flasques à inclure dans le calcul de l'effort tranchant est le suivant :
hauteur de flasques = 132 - (2 x 18) = 96 mm. de hauteur ;
section = 2 x 96 x 1,6 = 307 mm2. = 3,07 cm2.
Si l'on entretoise à l'aide de petits diaphragmes tels que le côté de chaque maille soit au plus de 1,6 x 80 = 128 mm. nous pouvons compter sur
80 kg/cm2, soit :
80 x 3,07 = 246 kg.
Ceci veut dire cette épaisseur de flasque est suffisante sur toute l'envergure du longeron, sauf de k à A, soit sur 20 cm. (fig. 8.2.2-4). Sur cette portion, les flasques doivent être renforcés par une surépaisseur de contreplaqué de 1,2 mm.
Du reste, à proximité du maximum d'effort tranchant, l'épaisseur des semelles est de 4 x 6 = 24 mm. ; donc, la hauteur hT utilisable pour l'effort tranchant n'est que de :
hT = 132 - (2 x 24) = 84 mm. de hauteur ;
section = 84 x (1,6 + 1,2) x 2 = 470 mm2. = 4,7 cm2.
Effort tranchant admissible :
4,7 x 80 = 376 kg. > 273,5, qui est le chiffre maximum relevé sur l'épure.
Les petits diaphragmes sont réalisés en planchettes de 5 mm. et placés tous les 125 mm.
Le schéma du longeron est établi, et son poids définitif connu, lorsqu'on sait où sont placées les ferrures, car ces dernières nécessitent d'introduire à l'intérieur du caisson des remplissages en bois de dimensions variables.
Entures Parfois le longeron est trop long pour que sa semelle soit d'une seule pièce. Dans ce cas on réunit plusieurs morceaux de semelle par des entures ou assemblages en biseaux dont la longueur représente douze fois l'épaisseur de la planche. Les entures sont contrariées, c'est à dire qu'elles ne doivent pas se correspondre en haut et en bas.
Autres modes de fabrication des semelles • Semelle d'épaisseur variable taillée dans la masse
Si l'on taille l'épaisseur variable de la semelle dans une même planche (voir fig. 8.2.2-12), on gagne un petit peu de poids mais, évidemment, on perd beaucoup plus de chute.
Semelle d'épaisseur variable taillée dans la masse (fig. 8.2.2-12 R.G. Desgrandschamps)
Mais attention, il est risqué d'utiliser ce procédé pour des semelles épaisses car on n'est jamais certain que le bois soit parfaitement sain et régulier dans la masse. Enfin, compte tenu du grand nombre de fibres tranchées, on est tenté de maroufler pour redonner de la rigidité aux surfaces taillées en biseau, ce qui fait perdre le gain de poids et de simplicité.
• Semelles en lamellé-collé
Lorsque les semelles sont épaisses, on peut les confectionner en lamelles collées à joints contrariés, ceci permet d'utiliser des éléments de faible longueur (voir fig. 8.2.2-13).
Semelles en lamellé-collé (fig. 8.2.2-13 R.G. Desgrandschamps)
• Semelles en lames collées verticalement
Dans le cas d'un longeron à section nettement oblique, longeron arrière ou faux longeron, il peut être intéressant de réaliser une semelle en lames collées verticalement car ceci évite de trancher trop de fibres (voir fig. 8.2.2-14).
Semelles en lames collées verticalement (fig. 8.2.2-14 R.G. Desgrandschamps)
8.2.3 entretoises et croisillons
L'épure de crémona, tirée du calcul des efforts, nous donne la répartition des charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1).
Charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1 R.G. Desgrandschamps)
• Croisillons
Si nous utilisons dans chaque travée des diagonales souples (en forme de croix de Saint André), nous avons un plan de croisillonnement supérieur et un plan de croisillonnement inférieur, chacun d'eux étant doublé.
Nous avons vu dans le chapitre sur les aciers, qu'avec une double corde de 1 mm. bouclée, on obtient une résistance de :
2 x 130 = 260 kg.,
Cette résistance est suffisante pour toutes les travées ; notons aussi que les cordes inverses ont le même diamètre.
• Entretoises
En ce qui concerne les entretoises, le plus grand effort indiqué par l'épure de Crémona ne suffit pas au calcul. En plus de celui-ci, les entretoises supportent effectivement les surcharges dûes à la tension initiale des croisillons inverses. On peut estimer cette tension à la demi-charge de rupture, y compris le facteur de charge.
Par exemple, si l'on prend l'entretoise qui sépare les travées 4 et 5, sa charge maximum indiquée par l'épure est de 126 kg. En réalité, cette traverse supporte une charge plus élevée, causée par la tension initiale. Au repos, chaque semelle supporte la composante de la traction initiale des quatre cordes, traction qui est évaluée à la demi-charge de rupture, soit 130 / 2 = 65 kg. par corde. La projection de ces 65 kg. sur l'entretoise est de 35 kg. (voir fig. 8.2.3-2).
Charge supportée par une entretoise (fig. 8.2.3-2 R.G. Desgrandschamps)
Pour l'entretoise entière qui comporte deux semelles, la charge est de :
2 x 4 x 35 = 280 kg.,
ce qui est > 126 kg. On fait donc le calcul pour 280 kg.
Une entretoise en bois peut se concevoir de différentes façons (voir fig. 8.2.3-3) :
- en treillis (a), ce cas étant adapté aux fortes charges,
- en caisson avec flasque de contreplaqué (b),
- en bois toupillé (c),
- ou en double T avec âme en contreplaqué, ce cas étant réservé aux faibles charges.
Différentes formes d'entretoises en bois (fig. 8.2.3-3 R.G. Desgrandschamps)
Dans notre cas, nous utilisons la forme "d" (en double T). Les semelles des entretoises s'appuient sur les semelles du longeron, avec des petites ferrures de croisillonnage interposées (voir fig. 8.2.3-4).
Une entretoise en double T avec âme en contreplaqué, entre les longerons avant et arrière (fig. 8.2.3-4 R.G. Desgrandschamps)
Les semelles d'entretoises font h = 10 mm. sur l = 15 mm.
La hauteur de l'entretoise décroit régulièrement, de 132 mm. (hauteur du longeron avant), à 110 mm. (hauteur du longeron arrière). La section du plus grand flambage, au milieu de l'entretoise, est donc de 121 mm. (fig. 8.2.3-4).
ω = 2 x 15 x 10 = 300 mm2.,
I = (121 - 101) x 153 / 12 = 5600 mm4.,
Distance entre l'axe des longerons moins 30 mm. de largeur :
l = 630 - 30 = 600 mm.,
Coefficient de Rankine-Résal : { 1 + K.l2.ω / I } = 1 + (6002 x 300) / 104 x 5600 = 2,93.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 200 x 2,93 / 300 = 2,78 kg/mm2. (qui est < 3).
Les extrémités de l'entretoise, contre les longerons, sont terminées par des baguettes d'appui de 6 x 15 ; et environ tous les 10 cm., le contreplaqué est raidi par des lattes de 6 x 6 collées sur chacune des faces.
• Poids d'une telle entretoise
Volumes des lattes et baguettes en dm3 :
| Volume des semelles | 0,10 x 0,15 x 12 | = 0,1800 |
| Volume des baguettes | 0,06 x 0,15 x 1,12 | = 0,0100 |
| Volume des baguettes | 0,66 x 0,15 x 1,04 | = 0,0095 |
| Volume des lattes | 0,06 x 0,06 x 1,08 x 10 | = 0,0390 |
| = 0,2385 |
A la densité de 0,5 le poids est de 0,2385 x 0,5 = 0,11925 kg.
Volumes des contreplaqués = 0,012 x 1,2 x 6 = 0,0864 dm3 :
A la densité de 0,55 le poids est de 0,0864 x 0,55 = 0,04752 kg.
Pour la colle et les clous, il faut compter environ 20 % en plus. D'où le poids total de cette entretoise :
Poids total de l'entretoise = (0,11925 + 0,04752) x 1,2 = 0,200124 kg. (soit ~ 200 grammes).
8.2.4 Ferrures de croisillonnement plan (dans le plan de l'aile)
Diagonales en croix, tendues et souples Croisillonnement par câbles dans le plan de l'aile (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
• Ferrure d'entretoise
Dans une cellule en bois, ces ferrures sont habituellement très simples : une plaquette de duralumin pliée encaisse l'effort des deux cordes inverses (voir la figure 8.2.4-1).
Ferrure d'entretoise représentée en place (à gauche) et développée (à droite) (fig. 8.2.4-1 R.G. Desgrandschamps)
Mais plusieurs sortes de glissements sont possibles entre la ferrure et l'entretoise :
- l'entretoise peut se déplacer latéralement par rapport à la ferrure, mais la pliage des pattes s'y oppose ;
- l'entretoise peut se déplacer de haut en bas par rapport à la ferrure : alors une simple vis de 2,5 mm. traversant la baguette d'extrémité de l'entretoise suffit à empêcher ce déplacement ;
- enfin l'ensemble entretoise-ferrure peut se déplacer par rapport au longeron, mais le croisillonnage et la compression s'y opposent. Pourtant, il est quand même prudent d'arrêter la ferrure par une vis de 3 mm. à tête fraisée, vissée de préférence dans la semelle du longeron par exemple (figure 8.2.4-1).
• Ferrure de tendeur (on s'arrange pour que les câbles tendus passent par les trous d'allègement des nervures)
Pour la plaquette de duralumin, on prend une épaisseur de e = 1,5 mm. Le tableau standard des tendeurs nous donne un axe de 3,5. La pression d'appui sera donc de :
Pression d'appui = 3,5 x e x R = 3,5 x 1,5 x 40 = 210 kg. (ce qui est > 130).
Le rayon r de la ferrure à l'attache du tendeur doit être au minimum de :
r = 1,3 x d = 1,3 x 3,5 = 4,55 mm. (soit ~ 5 mm.).
Section au cisaillement = 10 - 3,5 x 1,5 = 9,8 mm2.
Résistance = 9,8 x 40 x 3/4 = 294 kg. (ce qui est > 130).
A l'autre extrémité du croisillon, la corde est bouclée sur un axe traversant deux pattes jumelles qui jouent le même rôle que la chape du tendeur (fig. 8.2.4-2).
Ferrure de tendeur (fig. 8.2.4-2 R.G. Desgrandschamps)
On peut aussi fabriquer une ferrure en acier doux, de même développement que sur la figure 8.2.4-2, mais, pour empêcher le glissement de l'entretoise, cette ferrure serait munie d'une languette en acier de 1 mm. par exemple, soudée autogène, et une croix de languettes s'enfonçant dans la semelle du longeron (fig. 8.2.4-2 en bas à gauche).
Diagonale rigide unique A la place de diagonales en croix, tendues et souples, nous pouvons utiliser une diagonale rigide unique qui travaille en traction ou en compression. Dans ce cas l'entretoise ne supporte que la charge indiquée par l'épure (fig. 8.2.3-1).
Charges dans les entretoises et les croisillons (fig. 8.2.3-1 R.G. Desgrandschamps)
Le système corde à piano - tendeur - ferrure est alors supprimé et la construction s'en trouve beaucoup plus simple. La diagonale est aboutée aux longerons et aux entretoises, mais en plus ces éléments sont reliés et renforcés par des goussets collés dans le cas où la diagonale travaille en traction (fig. 8.2.4-3).
Diagonale rigide unique et renforts par des goussets collés (fig. 8.2.4-3 R.G. Desgrandschamps)
enrimores- Pilote
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:38
8.2.5 Mâture
Mât oblique avant :
Pour que la construction reste homogène ce mât est construit en bois et de forme torpédo (en forme de torpille). Pour réaliser ce mât, le plus simple serait de coller plusieurs épaisseurs en leur donnant une forme profilée, comme sur la figure 8.2.5-1. Mais dans ce cas, étant donnée sa grande longueur, 3 m., on risquerait une forte tendance au flambage sous l'effet de la compression.
Mât plein (fig. 8.2.5-1 R.G. Desgrandschamps)
Pour éviter le flambage, il faut donc donner au mât un grand moment d'inertie pour un poids acceptable. C'est ce que donne un mât creux de type caisson, comme sur la figure 8.2.5-2, à deux coquilles toupillées et collées. Le caisson est renforcé par de petits diaphragmes, le tout donnant une construction très proche de celle du longeron (voir figure 8.2.5-2).
Mât creux (fig. 8.2.5-2 R.G. Desgrandschamps)
Pour le mât oblique avant, nous supposons que le calcul nous a donné :
• Traction : 1250 kg. (1er cas de calcul) ;
• Compression : 412 kg. (atterrissage) ;
• Longueur de ce mât : 3 m. entre axes de ferrures.
• Section : 1500 mm2.
Vérifions par les formules de Rankine-Résal et d'Euler : voir [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] :
I = (15 x 52 - 13 x 3,82) / 24 = 48 cm4 = 480000 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (30002 x 1500) / (104 x 48 x 104) = 5,05.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 412 x 5,05 / 1500 = 1,39 kg/mm2 ;
mais comme la pièce est toupillée, son taux de travail admissible n'est que de :
3,5 / 1,5 = 2,33 kg/mm2.
La compression admissible donnée par la formule d'Euler est de :
(π2 x 1200 x 48 x 104) / (30002 x 1,5) = 426 kg. > 412.
En traction, F/Ω = 1250 / 1500 = 0,835 kg/mm2.
On voit donc que le mât travaille peu en traction, mais comme cette pièce est longue dans notre cas, c'est la formule d'Euler qui conditionne son inertie.
Le mât avant de cabane, quant à lui, subit un effort de compression comparable à celui du mât oblique. Il est donc du même type, mais comme sa longueur est beaucoup plus réduite, son échantillonnage est plus faible.
2.6 Ferrures
♦ a) Ferrure sur longeron
Ce type de ferrure sert par exemple à attacher le mât sur le longeron. On peut en distinguer deux types :
• Soit la ferrure est fixée d'aplomb sur le longeron, c'est à dire perpendiculaire à celui-ci : dans ce cas, la direction de l'effort coupe l'axe neutre du longeron en dehors de la ferrure, et il faut donc prévoir une pièce horizontale et une pièce verticale pour encaisser les deux composantes rectangulaires de l'effort (fig. 8.2.6-1 a).
• Soit la ferrure est orientée dans la direction de l'effort (fig. 8.2.6-1 b), ce qui constitue un mode de liaison plus simple. C'est donc cette dernière ferrure que nous décrivons.
Ferrures : a) perpendiculaire au longeron ; b) dans la direction de l'effort (fig. 8.2.6-1 R.G. Desgrandschamps)
Rappelons que les charges à transmettre sont :
- Traction = 1250 kg.,
- Compression = 412 kg.
Tout d'abord, on renforce l'intérieur du longeron par une cale bien ajustée et collée aux semelles et aux parois (en hachuré sur les figures 8.2.6-2 et 8.2.6-3).
La surface de contact et de collage de la cale intérieure avec les semelles est au moins égale à :
1250 / 40 ≈ 31 cm2.
La ferrure est ensuite modelée en forme de U, et ses deux branches latérales sont fixées par des rivets tubulaires qui traversent le longeron et la cale intérieure.
Ferrure dans la direction de l'effort, et la cale qui renforce l'intérieur du longeron (fig. 8.2.6-2 R.G. Desgrandschamps)
La surface d'appui des rivets tubulaires dans le bois est égale à :
1250 / 3 = 417 mm2.
En réalité, on compte une longueur d'appui de 4d, ce qui donne, avec des rivets de 5/3 :
Longueur des rivets = 5 x 4 = 20 mm.
Enfin, ceci donne une surface d'appui de 5 x 20 = 100 mm2 par rivet.
Comme on a besoin de 417 mm2 de surface d'appui, en théorie cinq rivets auraient donc dû suffire.
Mais pour une pièce aussi vitale, il nous faut admettre qu'une ovalisation est possible, et partir du principe que le calcul à la rupture n'est pas assez strict, soit :
Charge par rivet = 100 kg/cm2 x 3 cm. de largeur x 0,5 cm. de diamètre = 150 kg.
Nombre de rivets = 1250 / 150 ≈ 8 rivets (voir figure 8.2.6-3)
Comme nous l'avons vu précédemment, les rivets doivent être écartés de :
6 d = 6 x 5 = 30 mm. dans le sens de l'effort ;
3 d = 3 x 5 = 15 mm. dans le sens normal à l'effort.
Section de cisaillement :
l = 49 cm. ; e = 3 cm. ; τ = 70 kg/cm2 ;
l x e x τ x = 49 x 3 x 70 x = 10000 < 1250.
Par sécurité, la ferrure s'appuie sur la semelle supérieure du longeron et une cale d'arrêt collée s'oppose à tout glissement éventuel.
Fixation de la ferrure de longeron (fig. 8.2.6-3 R.G. Desgrandschamps)
• Renfort de ferrure au passage de l'axe
L'axe passe par un trou de diamètre D = 15 mm., mais cette attache subit aussi bien des efforts alternatifs de traction et de compression.
Taux de travail du duralumin = 40 / 2 = 20 kg/mm2 ;
Section d'appui nécessaire = 1250 / 20 = 62,5 mm2 ;
Epaisseur nécessaire = 62,5 / 15 = 4,17 mm.
Mais comme nous n'avons que deux faces de 1,5 mm. chacune, nous devons donc prévoir un renfort en U, rivé, de 1 mm. d'épaisseur (voir figure 8.2.6-4).
Total des épaisseurs = 1,5 + 1 + 1 + 1,5 = 5 mm.
Le rivetage encaisse l'effort transmis au renfort, effort proportionnel aux épaisseurs :
Effort transmis au renfort = 1250 kg. x (5 - 3) / 5 = 500 kg.
Le diamètre du rivet en duralumin employé vaut 3 fois l'épaisseur minimum de la tôle, soit :
Diamètre du rivet, d = 3 x 1 = 3 ;
Section du rivet = π d2 / 4 = 7 mm2. ;
Résistance au cisaillement = 7 x 25 = 175 kg. ;
Nombre de rivets = 500 / 175 = 2,85.
Il faut donc prévoir trois rivets espacés suivant les règles habituelles, c'est à dire (voir figure 8.2.6-4) :
Espacement des rivets = 2,5 d = 2,5 x 3 = 7,5 mm. au minimum, et à 1,3 d du bord de la pièce :
Distance du bord = 1,3 d = 1,3 x 3 ≈ 4 mm.
Section à l'axe = 5 x (30 - 15) = 75 mm2.
Effort acceptable en cisaillement = 75 x 40 x 3/4 = 2250 kg. > 1250 kg..
Renfort de ferrure au passage de l'axe sous le longeron (fig. 8.2.6-4 R.G. Desgrandschamps)
Il nous faut enfin vérifier que la ferrure résiste bien à la compression. Comme le dos du renfort en U s'appuie sur la semelle inférieure du longeron, on fait cette vérification entre l'axe et son appui sur le longeron.
Longueur libre = 50 mm. ;
Section = 5 x 30 = 150 mm2.
Imini = (2 x 30 x 2,53) / 12 = 32 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (502 x 150) / (3000 x 32) = 4,9.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 412 x 4,9 / 150 = 13,5 kg/mm2. (qui est < 40 kg.)
Mais comme le coefficient d'élancement est élevé, il faut aussi vérifier la compression admissible donnée par la [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] :
Compression admissible = (π2.E.I) / l2 = (10 x 7000 x 32) / 502 = 900 kg. > 412.
♦ b) Ferrure sur le mât
La ferrure sur le mât est en forme de chape mâle (voir figure 8.2.6-5).
Le calcul est du même type que pour la ferrure de longeron
Ferrure sur le mât (fig. 8.2.6-5 R.G. Desgrandschamps)
♦ c) Axe
L'axe travaille au cisaillement sous un effort de 1250 kg.
Il est fabriqué en acier demi-dur, et son taux de travail au cisaillement est de 3/4 x 55 = 41 kg.
Section de l'axe = 1250 / 41 = 30,5 mm2 = π.(D2 - d2) / 4
Or D, le diamètre extérieur, est égal à 15, donc :
d = √D2 - 30,5/π/4 = √152 - 30,5/0,785 = √186 = 13,65
Pratiquement, on utilise un axe creux de 12/15.
♦ d) Ferrures d'articulation
Comme l'aile est articulée au point B, on la relie aux longerons de cabane par des ferrures démontables du type représenté sur la figure 8.2.6-6, et calculées suivant les mêmes principes que précédemment.
Ferrures d'articulation (fig. 8.2.6-6 R.G. Desgrandschamps)
Au point correspondant, sur le longeron, il faut prévoir des cales que traversent des rivets tubulaires de 5.
2.7 Poids du longeron avant
A ce stade, nous connaissons les dimensions de toutes les cales ajoutées au droit des attaches. Il est donc maintenant possible de dessiner un demi-longeron avant complet et d'en calculer le poids (figure 8.2.7-1).
Poids du longeron avant (fig. 8.2.7-1 R.G. Desgrandschamps)
Volume des trois semelles = L x l x e (dimensions en dm.) :
1e semelle : V = 44 x 0,268 x 0,06 = 0,705 dm3
2e semelle : V = 35,5 x 0,268 x 0,06 = 0,595 dm3
3e semelle : V = 34,8 x 0,268 x 0,06 = 0,560 dm3
Total : 1,860 dm3
Soit, pour les deux semelles (supérieures et inférieures) :
1,860 x 2 = 3,72 dm3.
• Poids des semelles (en peuplier) = 3,72 x 0,5 = 1,860 kg.
Volume des cales d'appui :
- Cale d'appui à l'attache du mât, volume = 0,585 dm3.
- Cale d'appui à l'articulation, volume = 0,425 dm3.
• Poids des cales (en tilleul) = (0,585 + 0,425) x 0,35 = 0,355 kg.
Volume des diaphragmes = 0,015 dm3 soit 7,5 grammes chacun.
• Poids des 26 diaphragmes (en peuplier) = 26 x 0,0075 = 0,195 kg.
On ajoute 20 % pour la colle et les clous, soit :
Poids du demi-longeron avant = (1,860 + 0,355 + 0,195) x 1,2 = 2,900 kg.
8.3 Calcul et construction des nervures
8.3.1 Calcul des contraintes appliquées aux nervures
♦ Essais de résistance des nervures
Ces essais ont pour but de définir les trous et renforts optimums pour obtenir une nervure de résistance suffisante sous charge maximum.
Le dispositif d'essais est un système de palonnier qui tente de reproduire au mieux une répartition de charge conforme à la réalité. La nervure est supposée encastrée dans sa partie droite verticale.
Dispositif d'essais (fig. Ewald HUNSINGER & Michel KIEFFER)
On charge la nervure jusqu'à son effondrement (fig. Ewald HUNSINGER & Michel KIEFFER)
Les trous doivent être renforcés par des gaufrages verticaux pour rigidifier les nervures. L'essai permet de trouver une configuration optimum de trous et de gaufrages
♦ Calcul des nervures
Les nervures ne participent pas à la résistance de l'avion dans son ensemble. Elles permettent de donner à l'aile son profil exact et transmettent les actions de l'air du revêtement aux longerons.
Soit un avion tel que défini sur la figure ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Notre avion type (fig. 8.2.1-1 R.G. Desgranschamps)
Pour cet avion, et pour la totalité de l'aile, la charge au mètre courant est égale à :
Charge / mètre = 3150 kg. / 9,4 = 335 kg. / m.
Calcul des nervures (fig. 8.3.1-3 R.G. Desgranschamps)
♦ Répartition de la charge le long du profil
Sachant que la profondeur de profil est de 1,54 m., la répartition de la charge le long du profil correspond à la partie hachurée sur la figure ci-dessus.
Le détail du calcul de la répartition de la charge le long du profil est expliqué plus haut dans le § "Aile multi-longeron".
La ligne enveloppe de la poussée dans le sens ↑ définit une charge de 335 kg. / m.
Si les nervures sont espacées de 0,30 m. la charge par nervure est la suivante :
Charge par nervure = 335 kg. x 0,3 = 100 kg.
Considérons successivement les parties avant et arrière d'une nervure classique à âme pleine, enfilée sur deux longerons
• Partie avant en porte-à-faux.
Cette partie supporte une charge trapézoïdale = f1 = 43 kg. ;
La longueur de la corde = l1 = 205 mm. ;
m1 maxi = f1 x d1
Où,
d1 = 115 mm. = distance entre la face avant du longeron et le centre de gravité du trapèze ;
m1 maxi = 43 x 115 = 4950 kg./mm.
• Partie centrale.
Cette partie supporte une charge = f2 = 39 kg. ;
La longueur de la corde = l2 = 645 mm. ;
m2 maxi = f2 x c.c' / 2 l2
Où c et c' sont les distances respectives entre les appuis et le centre de gravité de la partie centrale hachurée.
c = 365 mm. ; c' = 280 mm.
m2 maxi = (39 x 365 x 280) / (2 x 645) = 3100 kg./mm.
• Partie arrière.
Cette partie supporte une charge triangulaire en porte-à-faux = f3 = 12 kg. ;
La longueur de la corde = l3 = 590 mm. ;
m3 maxi = f3 x l3 / 3
m3 maxi = (12 x 590) / 3 = 2360 kg./mm.
• Rafale vers le bas.
Pour la rafale vers le bas, les charges sont proportionnellesà la surface hachurée sous la corde de profil.
Mât oblique avant :
Pour que la construction reste homogène ce mât est construit en bois et de forme torpédo (en forme de torpille). Pour réaliser ce mât, le plus simple serait de coller plusieurs épaisseurs en leur donnant une forme profilée, comme sur la figure 8.2.5-1. Mais dans ce cas, étant donnée sa grande longueur, 3 m., on risquerait une forte tendance au flambage sous l'effet de la compression.
Mât plein (fig. 8.2.5-1 R.G. Desgrandschamps)
Pour éviter le flambage, il faut donc donner au mât un grand moment d'inertie pour un poids acceptable. C'est ce que donne un mât creux de type caisson, comme sur la figure 8.2.5-2, à deux coquilles toupillées et collées. Le caisson est renforcé par de petits diaphragmes, le tout donnant une construction très proche de celle du longeron (voir figure 8.2.5-2).
Mât creux (fig. 8.2.5-2 R.G. Desgrandschamps)
Pour le mât oblique avant, nous supposons que le calcul nous a donné :
• Traction : 1250 kg. (1er cas de calcul) ;
• Compression : 412 kg. (atterrissage) ;
• Longueur de ce mât : 3 m. entre axes de ferrures.
• Section : 1500 mm2.
Vérifions par les formules de Rankine-Résal et d'Euler : voir [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] :
I = (15 x 52 - 13 x 3,82) / 24 = 48 cm4 = 480000 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (30002 x 1500) / (104 x 48 x 104) = 5,05.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 412 x 5,05 / 1500 = 1,39 kg/mm2 ;
mais comme la pièce est toupillée, son taux de travail admissible n'est que de :
3,5 / 1,5 = 2,33 kg/mm2.
La compression admissible donnée par la formule d'Euler est de :
(π2 x 1200 x 48 x 104) / (30002 x 1,5) = 426 kg. > 412.
En traction, F/Ω = 1250 / 1500 = 0,835 kg/mm2.
On voit donc que le mât travaille peu en traction, mais comme cette pièce est longue dans notre cas, c'est la formule d'Euler qui conditionne son inertie.
Le mât avant de cabane, quant à lui, subit un effort de compression comparable à celui du mât oblique. Il est donc du même type, mais comme sa longueur est beaucoup plus réduite, son échantillonnage est plus faible.
2.6 Ferrures
♦ a) Ferrure sur longeron
Ce type de ferrure sert par exemple à attacher le mât sur le longeron. On peut en distinguer deux types :
• Soit la ferrure est fixée d'aplomb sur le longeron, c'est à dire perpendiculaire à celui-ci : dans ce cas, la direction de l'effort coupe l'axe neutre du longeron en dehors de la ferrure, et il faut donc prévoir une pièce horizontale et une pièce verticale pour encaisser les deux composantes rectangulaires de l'effort (fig. 8.2.6-1 a).
• Soit la ferrure est orientée dans la direction de l'effort (fig. 8.2.6-1 b), ce qui constitue un mode de liaison plus simple. C'est donc cette dernière ferrure que nous décrivons.
Ferrures : a) perpendiculaire au longeron ; b) dans la direction de l'effort (fig. 8.2.6-1 R.G. Desgrandschamps)
Rappelons que les charges à transmettre sont :
- Traction = 1250 kg.,
- Compression = 412 kg.
Tout d'abord, on renforce l'intérieur du longeron par une cale bien ajustée et collée aux semelles et aux parois (en hachuré sur les figures 8.2.6-2 et 8.2.6-3).
La surface de contact et de collage de la cale intérieure avec les semelles est au moins égale à :
1250 / 40 ≈ 31 cm2.
La ferrure est ensuite modelée en forme de U, et ses deux branches latérales sont fixées par des rivets tubulaires qui traversent le longeron et la cale intérieure.
Ferrure dans la direction de l'effort, et la cale qui renforce l'intérieur du longeron (fig. 8.2.6-2 R.G. Desgrandschamps)
La surface d'appui des rivets tubulaires dans le bois est égale à :
1250 / 3 = 417 mm2.
En réalité, on compte une longueur d'appui de 4d, ce qui donne, avec des rivets de 5/3 :
Longueur des rivets = 5 x 4 = 20 mm.
Enfin, ceci donne une surface d'appui de 5 x 20 = 100 mm2 par rivet.
Comme on a besoin de 417 mm2 de surface d'appui, en théorie cinq rivets auraient donc dû suffire.
Mais pour une pièce aussi vitale, il nous faut admettre qu'une ovalisation est possible, et partir du principe que le calcul à la rupture n'est pas assez strict, soit :
Charge par rivet = 100 kg/cm2 x 3 cm. de largeur x 0,5 cm. de diamètre = 150 kg.
Nombre de rivets = 1250 / 150 ≈ 8 rivets (voir figure 8.2.6-3)
Comme nous l'avons vu précédemment, les rivets doivent être écartés de :
6 d = 6 x 5 = 30 mm. dans le sens de l'effort ;
3 d = 3 x 5 = 15 mm. dans le sens normal à l'effort.
Section de cisaillement :
l = 49 cm. ; e = 3 cm. ; τ = 70 kg/cm2 ;
l x e x τ x = 49 x 3 x 70 x = 10000 < 1250.
Par sécurité, la ferrure s'appuie sur la semelle supérieure du longeron et une cale d'arrêt collée s'oppose à tout glissement éventuel.
Fixation de la ferrure de longeron (fig. 8.2.6-3 R.G. Desgrandschamps)
• Renfort de ferrure au passage de l'axe
L'axe passe par un trou de diamètre D = 15 mm., mais cette attache subit aussi bien des efforts alternatifs de traction et de compression.
Taux de travail du duralumin = 40 / 2 = 20 kg/mm2 ;
Section d'appui nécessaire = 1250 / 20 = 62,5 mm2 ;
Epaisseur nécessaire = 62,5 / 15 = 4,17 mm.
Mais comme nous n'avons que deux faces de 1,5 mm. chacune, nous devons donc prévoir un renfort en U, rivé, de 1 mm. d'épaisseur (voir figure 8.2.6-4).
Total des épaisseurs = 1,5 + 1 + 1 + 1,5 = 5 mm.
Le rivetage encaisse l'effort transmis au renfort, effort proportionnel aux épaisseurs :
Effort transmis au renfort = 1250 kg. x (5 - 3) / 5 = 500 kg.
Le diamètre du rivet en duralumin employé vaut 3 fois l'épaisseur minimum de la tôle, soit :
Diamètre du rivet, d = 3 x 1 = 3 ;
Section du rivet = π d2 / 4 = 7 mm2. ;
Résistance au cisaillement = 7 x 25 = 175 kg. ;
Nombre de rivets = 500 / 175 = 2,85.
Il faut donc prévoir trois rivets espacés suivant les règles habituelles, c'est à dire (voir figure 8.2.6-4) :
Espacement des rivets = 2,5 d = 2,5 x 3 = 7,5 mm. au minimum, et à 1,3 d du bord de la pièce :
Distance du bord = 1,3 d = 1,3 x 3 ≈ 4 mm.
Section à l'axe = 5 x (30 - 15) = 75 mm2.
Effort acceptable en cisaillement = 75 x 40 x 3/4 = 2250 kg. > 1250 kg..
Renfort de ferrure au passage de l'axe sous le longeron (fig. 8.2.6-4 R.G. Desgrandschamps)
Il nous faut enfin vérifier que la ferrure résiste bien à la compression. Comme le dos du renfort en U s'appuie sur la semelle inférieure du longeron, on fait cette vérification entre l'axe et son appui sur le longeron.
Longueur libre = 50 mm. ;
Section = 5 x 30 = 150 mm2.
Imini = (2 x 30 x 2,53) / 12 = 32 mm4.
Coefficient de Rankine-Résal :
CRR = 1 + (K l2 ω / I) = 1 + (502 x 150) / (3000 x 32) = 4,9.
Fatigue au flambage :
F/Ω = 412 x 4,9 / 150 = 13,5 kg/mm2. (qui est < 40 kg.)
Mais comme le coefficient d'élancement est élevé, il faut aussi vérifier la compression admissible donnée par la [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien] :
Compression admissible = (π2.E.I) / l2 = (10 x 7000 x 32) / 502 = 900 kg. > 412.
♦ b) Ferrure sur le mât
La ferrure sur le mât est en forme de chape mâle (voir figure 8.2.6-5).
Le calcul est du même type que pour la ferrure de longeron
Ferrure sur le mât (fig. 8.2.6-5 R.G. Desgrandschamps)
♦ c) Axe
L'axe travaille au cisaillement sous un effort de 1250 kg.
Il est fabriqué en acier demi-dur, et son taux de travail au cisaillement est de 3/4 x 55 = 41 kg.
Section de l'axe = 1250 / 41 = 30,5 mm2 = π.(D2 - d2) / 4
Or D, le diamètre extérieur, est égal à 15, donc :
d = √D2 - 30,5/π/4 = √152 - 30,5/0,785 = √186 = 13,65
Pratiquement, on utilise un axe creux de 12/15.
♦ d) Ferrures d'articulation
Comme l'aile est articulée au point B, on la relie aux longerons de cabane par des ferrures démontables du type représenté sur la figure 8.2.6-6, et calculées suivant les mêmes principes que précédemment.
Ferrures d'articulation (fig. 8.2.6-6 R.G. Desgrandschamps)
Au point correspondant, sur le longeron, il faut prévoir des cales que traversent des rivets tubulaires de 5.
2.7 Poids du longeron avant
A ce stade, nous connaissons les dimensions de toutes les cales ajoutées au droit des attaches. Il est donc maintenant possible de dessiner un demi-longeron avant complet et d'en calculer le poids (figure 8.2.7-1).
Poids du longeron avant (fig. 8.2.7-1 R.G. Desgrandschamps)
Volume des trois semelles = L x l x e (dimensions en dm.) :
1e semelle : V = 44 x 0,268 x 0,06 = 0,705 dm3
2e semelle : V = 35,5 x 0,268 x 0,06 = 0,595 dm3
3e semelle : V = 34,8 x 0,268 x 0,06 = 0,560 dm3
Total : 1,860 dm3
Soit, pour les deux semelles (supérieures et inférieures) :
1,860 x 2 = 3,72 dm3.
• Poids des semelles (en peuplier) = 3,72 x 0,5 = 1,860 kg.
Volume des cales d'appui :
- Cale d'appui à l'attache du mât, volume = 0,585 dm3.
- Cale d'appui à l'articulation, volume = 0,425 dm3.
• Poids des cales (en tilleul) = (0,585 + 0,425) x 0,35 = 0,355 kg.
Volume des diaphragmes = 0,015 dm3 soit 7,5 grammes chacun.
• Poids des 26 diaphragmes (en peuplier) = 26 x 0,0075 = 0,195 kg.
On ajoute 20 % pour la colle et les clous, soit :
Poids du demi-longeron avant = (1,860 + 0,355 + 0,195) x 1,2 = 2,900 kg.
8.3 Calcul et construction des nervures
8.3.1 Calcul des contraintes appliquées aux nervures
♦ Essais de résistance des nervures
Ces essais ont pour but de définir les trous et renforts optimums pour obtenir une nervure de résistance suffisante sous charge maximum.
Le dispositif d'essais est un système de palonnier qui tente de reproduire au mieux une répartition de charge conforme à la réalité. La nervure est supposée encastrée dans sa partie droite verticale.
Dispositif d'essais (fig. Ewald HUNSINGER & Michel KIEFFER)
On charge la nervure jusqu'à son effondrement (fig. Ewald HUNSINGER & Michel KIEFFER)
Les trous doivent être renforcés par des gaufrages verticaux pour rigidifier les nervures. L'essai permet de trouver une configuration optimum de trous et de gaufrages
♦ Calcul des nervures
Les nervures ne participent pas à la résistance de l'avion dans son ensemble. Elles permettent de donner à l'aile son profil exact et transmettent les actions de l'air du revêtement aux longerons.
Soit un avion tel que défini sur la figure ci-dessous :
• Poids total en charge = G = 550 kg.
• Poids de la cellule = gc = 100 kg.
• Envergure aile = b = 9 m. 40.
• Profondeur aile = t = 1 m. 54.
• Centre de gravité = C.d.g. à 28% de t.
• Centre de poussée = C.d.p. à 26% de t. (incidence : ressource ou vitesse maximum)
• Surface alaire = S = 14,5 m2.
• Empennage rectangulaire (pour simplifier).
• Envergure empennage = be = 2 m. 50.
• Profondeur plan fixe = 0 m. 48.
• Profondeur volet mobile = 0 m. 32.
• Surface empennage horizontal = 2 m2.
• Envergure aileron = ba = 2,30 m.
• Surface aileron = sa = 0,92 m2.
• Profondeur aileron = ta = 0,40 m.
• V0 = 165,5 km./h. = 46 m./s.
Notre avion type (fig. 8.2.1-1 R.G. Desgranschamps)
Pour cet avion, et pour la totalité de l'aile, la charge au mètre courant est égale à :
Charge / mètre = 3150 kg. / 9,4 = 335 kg. / m.
Calcul des nervures (fig. 8.3.1-3 R.G. Desgranschamps)
♦ Répartition de la charge le long du profil
Sachant que la profondeur de profil est de 1,54 m., la répartition de la charge le long du profil correspond à la partie hachurée sur la figure ci-dessus.
Le détail du calcul de la répartition de la charge le long du profil est expliqué plus haut dans le § "Aile multi-longeron".
La ligne enveloppe de la poussée dans le sens ↑ définit une charge de 335 kg. / m.
Si les nervures sont espacées de 0,30 m. la charge par nervure est la suivante :
Charge par nervure = 335 kg. x 0,3 = 100 kg.
Considérons successivement les parties avant et arrière d'une nervure classique à âme pleine, enfilée sur deux longerons
• Partie avant en porte-à-faux.
Cette partie supporte une charge trapézoïdale = f1 = 43 kg. ;
La longueur de la corde = l1 = 205 mm. ;
m1 maxi = f1 x d1
Où,
d1 = 115 mm. = distance entre la face avant du longeron et le centre de gravité du trapèze ;
m1 maxi = 43 x 115 = 4950 kg./mm.
• Partie centrale.
Cette partie supporte une charge = f2 = 39 kg. ;
La longueur de la corde = l2 = 645 mm. ;
m2 maxi = f2 x c.c' / 2 l2
Où c et c' sont les distances respectives entre les appuis et le centre de gravité de la partie centrale hachurée.
c = 365 mm. ; c' = 280 mm.
m2 maxi = (39 x 365 x 280) / (2 x 645) = 3100 kg./mm.
• Partie arrière.
Cette partie supporte une charge triangulaire en porte-à-faux = f3 = 12 kg. ;
La longueur de la corde = l3 = 590 mm. ;
m3 maxi = f3 x l3 / 3
m3 maxi = (12 x 590) / 3 = 2360 kg./mm.
• Rafale vers le bas.
Pour la rafale vers le bas, les charges sont proportionnellesà la surface hachurée sous la corde de profil.
enrimores- Pilote
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:40
♦ Remarques :
• Nervures mono-longeron.
Bien entendu, pour les nervures d'avion mono-longeron, on n'a plus qu'une partie avant et une partie arrière, toutes deux en porte-à-faux.
• Nervures en treillis.
Pour les profils peu épais des avions en bois, l'âme de la nervure est souvent en contreplaqué plein, ou ajouré par des trous circulaires.
Pour les profils épais, l'âme de la nervure est souvent en treillis. Dans ce cas, une épure de Crémona permet de déterminer la charge sur chaque nœud à l'aide de la surface qui intéresse ledit nœud ; les réactions s'appliquent aux encastrements des longerons.
De cette manière on obtient les charges affectant chaque élément de la nervure, sauf pour les petites longueurs, a, a', b, b' pour lesquelles on convient de prendre l'effort de l'élément contigu le plus chargé.
Epure de Crémona pour des nervures en treillis (fig. 8.3.1-4 R.G. Desgranschamps)
Dans le calcul des nervures en treillis, il faut aussi prendre en compte la flexion produite sur chaque barre d'extrados par la succion de l'air, et sur chaque barre d'intrados par la pression.
8.3.2 Construction des nervures en bois
♦ Types de nervures en bois
Il existe essentiellement trois types de construction pour les nervures en bois (figure 8.3.2-4) :
- Treillis de baguettes et goussets en contre-plaqué. Ce procédé donne une résistance sensiblement égale en vol normal (compression) et en vol inversé (traction).
- Treillis de baguettes en contre-plaqué. Fabrication plus rapide, mais le sens des diagonales est privilégié pour travailler en traction.
- Flanc à âme de contre-plaqué troué pour en réduire le poids. Solution de fabrication plus simple sans diagonale, mais plus lourde. Valable pour les ailes minces et les faibles charges.
- On peut mentionner aussi pour mémoire les nervures en polystyrène expansé ou extrudé.
Trois types de nervures en bois (fig. 8.3.2-4 [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Nous utilisons le troisième type de construction (figure 8.3.2-5 R.G. Desgranschamps).
Nervure en contreplaqué ajouré (fig. 8.3.2-5 R.G. Desgranschamps)
Le chapeau de nervure est façonné à partir d'une latte que l'on courbe en la faisant tremper quelque temps dans l'eau chaude. Sa section est rectangulaire et ses bords sont arrondis à la lime pour éviter l'usure de la toile. On fixe l'âme, soit latéralement, soit de préférence dans une feuillure médiane.
Au bord d'attaque, on réunit les nervures au profil sur une pièce continue, et on les entaille pour permettre l'assemblage des chapeaux de nervures. De même au bord de fuite, les nervures aboutissent sur un arêtier également continu.
♦ Construction de cette nervure en bois en fonction des charges qu'elle supporte
Nous supposons que le calcul nous a donné les paramètres suivants :
Moment maxi = M = 3 kgm. = 3000 kg/mm.
Effort tranchant = 24 kg.
Section minimum du chapeau de nervure = 6 x 6 = 36 mm2.
Hauteur entre axes au point de moment maximum, h = 145 mm.
Soit :
M / h = 3000 / 145 = 21,5 kg.
Section nécessaire (peuplier) = 21,5 / 3 = 7,15 mm2. (ce qui est ≤ 36)
Le contreplaqué a une épaisseur de 16/10e mm. Si l'on tient compte des trous d'allègement, sa hauteur utile est de 30 mm. dans la partie de plus forte charge. On conserve donc au moins 15 mm. entre le bord interne du chapeau et le bord du trou d'allègement.
Section utile du contreplaqué = 30 x 1,6 = 48 mm2 = 0,48 cm2.
Avec un contreplaqué d'okoumé correctement raidi, on peut compter sur 65 kg/cm2. Soit :
0,48 x 65 = 31 kg. Ce qui est suffisant pour supporter l'effort tranchant en tout point.
En plus, on raidit l'âme en contreplaqué de la nervure par des lattes de 6 x 2, espacées d'au moins 175 mm.
• Remarques :
- Quand on fabrique une nervure, il est essentiel de calculer largement les points d'appui du longeron vers l'intérieur : a, b, c, d sur la figure 8.3.2-5.
- On s'arrange pour que les câbles de croisillonnement tendus ou les diagonales passent par les trous d'allègement des nervures.
♦ Poids de la nervure en bois
Volume du chapeau = 0,06 x 0,06 x 30 = 0,1080 dm3.
Volume des lattes = 0,06 x 0,02 x 28,8 = 0,03456 dm3.
Poids à la densité 0,5, Plattes = (0,1080 + 0,03456) x 0,5 = 0,0713 kg.
Surface du contreplaqué ajouré = 0,095 m2.
Poids du contreplaqué à 0,8 kg/m2, Pcp = 0,095 x 0,8 = 0,076 kg.
Avec 10 % de plus pour la colle, le poids total de la nervure en bois est le suivant :
Pnervure = (0,0713 + 0,076) x 1,1 = 0,162 kg. = 162 grammes.
Une aile éclatée (fig. anonyme)
♦ Assemblage nervures/longeron :
Deux principes :
- Nervures enfilées sur le longeron
- Demi-nervures de part et d'autre du longeron
- Nervures enfilées sur le longeron
Cette solution n'est réalisée que sur des ailes entoilées.
Variante peu utilisée : les tasseaux sont remplacés par des cales ajustées entre semelles de nervure et longeron.
La transmission des efforts se fait par les deux montants de nervure collés sur les âmes du longeron et par la reprise des semelles de nervures par les tasseaux sur les faces inférieures et supérieures du longeron.
Nervures enfilées sur le longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
- Demi-nervures de part et d'autre du longeron
Cette solution impose une mise en forme du longeron en accord avec le profil.
Le revêtement de voilure assure le rôle de gousset et transmet les charges sur les faces inférieure et supérieure du longeron.
Demi-nervures de part et d'autre du longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Dans le cas d'une aile entoilée en arrière du longeron le revêtement de bord d'attaque peut être prolongé en feston pour reprendre les demi-nervures arrière.
Festons en arrière du longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
♦ Marouflage des joints
Pour augmenter la solidité après collage, on peut maroufler les joints. Mais localement, un marouflage crée une surépaisseur, ce qui nécessite, dans les nervures, d'agrandir le trou de passage des longerons, et d'obturer ensuite par des cales mobiles (fig. 8.2.2-11)
Obturation du trou de passage du longeron par des cales mobiles sur une nervure (fig. 8.2.2-11 R.G. Desgrandschamps)
Mais si l'on renonce à désenfiler les nervures pour réparation, on peut alors passer les nervures d'abord et maroufler les joints ensuite. Dans ce cas, si l'on a deux longerons, un avant et un arrière, une nervure de remplacement se construit en trois parties : avant, centrale, et arrière.
• Nervures mono-longeron.
Bien entendu, pour les nervures d'avion mono-longeron, on n'a plus qu'une partie avant et une partie arrière, toutes deux en porte-à-faux.
• Nervures en treillis.
Pour les profils peu épais des avions en bois, l'âme de la nervure est souvent en contreplaqué plein, ou ajouré par des trous circulaires.
Pour les profils épais, l'âme de la nervure est souvent en treillis. Dans ce cas, une épure de Crémona permet de déterminer la charge sur chaque nœud à l'aide de la surface qui intéresse ledit nœud ; les réactions s'appliquent aux encastrements des longerons.
De cette manière on obtient les charges affectant chaque élément de la nervure, sauf pour les petites longueurs, a, a', b, b' pour lesquelles on convient de prendre l'effort de l'élément contigu le plus chargé.
Epure de Crémona pour des nervures en treillis (fig. 8.3.1-4 R.G. Desgranschamps)
Dans le calcul des nervures en treillis, il faut aussi prendre en compte la flexion produite sur chaque barre d'extrados par la succion de l'air, et sur chaque barre d'intrados par la pression.
8.3.2 Construction des nervures en bois
♦ Types de nervures en bois
Il existe essentiellement trois types de construction pour les nervures en bois (figure 8.3.2-4) :
- Treillis de baguettes et goussets en contre-plaqué. Ce procédé donne une résistance sensiblement égale en vol normal (compression) et en vol inversé (traction).
- Treillis de baguettes en contre-plaqué. Fabrication plus rapide, mais le sens des diagonales est privilégié pour travailler en traction.
- Flanc à âme de contre-plaqué troué pour en réduire le poids. Solution de fabrication plus simple sans diagonale, mais plus lourde. Valable pour les ailes minces et les faibles charges.
- On peut mentionner aussi pour mémoire les nervures en polystyrène expansé ou extrudé.
Trois types de nervures en bois (fig. 8.3.2-4 [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Nous utilisons le troisième type de construction (figure 8.3.2-5 R.G. Desgranschamps).
Nervure en contreplaqué ajouré (fig. 8.3.2-5 R.G. Desgranschamps)
Le chapeau de nervure est façonné à partir d'une latte que l'on courbe en la faisant tremper quelque temps dans l'eau chaude. Sa section est rectangulaire et ses bords sont arrondis à la lime pour éviter l'usure de la toile. On fixe l'âme, soit latéralement, soit de préférence dans une feuillure médiane.
Au bord d'attaque, on réunit les nervures au profil sur une pièce continue, et on les entaille pour permettre l'assemblage des chapeaux de nervures. De même au bord de fuite, les nervures aboutissent sur un arêtier également continu.
♦ Construction de cette nervure en bois en fonction des charges qu'elle supporte
Nous supposons que le calcul nous a donné les paramètres suivants :
Moment maxi = M = 3 kgm. = 3000 kg/mm.
Effort tranchant = 24 kg.
Section minimum du chapeau de nervure = 6 x 6 = 36 mm2.
Hauteur entre axes au point de moment maximum, h = 145 mm.
Soit :
M / h = 3000 / 145 = 21,5 kg.
Section nécessaire (peuplier) = 21,5 / 3 = 7,15 mm2. (ce qui est ≤ 36)
Le contreplaqué a une épaisseur de 16/10e mm. Si l'on tient compte des trous d'allègement, sa hauteur utile est de 30 mm. dans la partie de plus forte charge. On conserve donc au moins 15 mm. entre le bord interne du chapeau et le bord du trou d'allègement.
Section utile du contreplaqué = 30 x 1,6 = 48 mm2 = 0,48 cm2.
Avec un contreplaqué d'okoumé correctement raidi, on peut compter sur 65 kg/cm2. Soit :
0,48 x 65 = 31 kg. Ce qui est suffisant pour supporter l'effort tranchant en tout point.
En plus, on raidit l'âme en contreplaqué de la nervure par des lattes de 6 x 2, espacées d'au moins 175 mm.
• Remarques :
- Quand on fabrique une nervure, il est essentiel de calculer largement les points d'appui du longeron vers l'intérieur : a, b, c, d sur la figure 8.3.2-5.
- On s'arrange pour que les câbles de croisillonnement tendus ou les diagonales passent par les trous d'allègement des nervures.
♦ Poids de la nervure en bois
Volume du chapeau = 0,06 x 0,06 x 30 = 0,1080 dm3.
Volume des lattes = 0,06 x 0,02 x 28,8 = 0,03456 dm3.
Poids à la densité 0,5, Plattes = (0,1080 + 0,03456) x 0,5 = 0,0713 kg.
Surface du contreplaqué ajouré = 0,095 m2.
Poids du contreplaqué à 0,8 kg/m2, Pcp = 0,095 x 0,8 = 0,076 kg.
Avec 10 % de plus pour la colle, le poids total de la nervure en bois est le suivant :
Pnervure = (0,0713 + 0,076) x 1,1 = 0,162 kg. = 162 grammes.
Une aile éclatée (fig. anonyme)
♦ Assemblage nervures/longeron :
Deux principes :
- Nervures enfilées sur le longeron
- Demi-nervures de part et d'autre du longeron
- Nervures enfilées sur le longeron
Cette solution n'est réalisée que sur des ailes entoilées.
Variante peu utilisée : les tasseaux sont remplacés par des cales ajustées entre semelles de nervure et longeron.
La transmission des efforts se fait par les deux montants de nervure collés sur les âmes du longeron et par la reprise des semelles de nervures par les tasseaux sur les faces inférieures et supérieures du longeron.
Nervures enfilées sur le longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
- Demi-nervures de part et d'autre du longeron
Cette solution impose une mise en forme du longeron en accord avec le profil.
Le revêtement de voilure assure le rôle de gousset et transmet les charges sur les faces inférieure et supérieure du longeron.
Demi-nervures de part et d'autre du longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Dans le cas d'une aile entoilée en arrière du longeron le revêtement de bord d'attaque peut être prolongé en feston pour reprendre les demi-nervures arrière.
Festons en arrière du longeron (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
♦ Marouflage des joints
Pour augmenter la solidité après collage, on peut maroufler les joints. Mais localement, un marouflage crée une surépaisseur, ce qui nécessite, dans les nervures, d'agrandir le trou de passage des longerons, et d'obturer ensuite par des cales mobiles (fig. 8.2.2-11)
Obturation du trou de passage du longeron par des cales mobiles sur une nervure (fig. 8.2.2-11 R.G. Desgrandschamps)
Mais si l'on renonce à désenfiler les nervures pour réparation, on peut alors passer les nervures d'abord et maroufler les joints ensuite. Dans ce cas, si l'on a deux longerons, un avant et un arrière, une nervure de remplacement se construit en trois parties : avant, centrale, et arrière.
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par enrimores Lun 25 Aoû - 15:41
8.3.3 Assemblage voilure - fuselage
♦ Types de voilures :
Deux principes : Ailes d'une seule pièce ou deux demi-voilures fixées au fuselage.
Ailes d'une seule pièce (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Deux demi-voilures (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
♦ Liaison voilure-fuselage :
Les principes sont totalement différents selon le type de voilure :
• Ailes d'une seule pièce
- L'attache principale ne transmet que les efforts verticaux et la traînée. L'attache Arrière équilibre la torsion. Les flexions s'équilibrent directement dans le longeron.
- Attache principale : La solution la plus classique est celle du boulon traversant le longeron et un cadre du fuselage
Fixation du longeron sur le cadre principal (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
- Attache Arrière : Elle dépend essentiellement de la technologie de l'aile et du fuselage. En général, elle n'introduit dans le fuselage qu'une charge verticale due à la torsion de la voilure, notamment à l'atterrissage pour les avions à train classique.
Types d'attaches (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
• Deux demi-voilures
La flexion des ailes passe par des éléments du fuselage :
- Solution classique
Rencontrée surtout sur des fuselages à caisson central ou fuselage métallique en treillis.
Fixation de demi-voilures (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Les ferrures sont longues pour repartir les efforts dans les semelles. Elles sont souvent d'épaisseur décroissante.
- Autre solution plus rare
Sur des fuselages métalliques ou plastiques, en général biplace côte à côte.
Fixation de demi-voilures sur fuselages métalliques ou plastiques (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
L'écartement entre les axes diminue les charges locales à introduire dans le fuselage.
Les attaches arrière sont identiques à celle d'une aile en une seule partie, mais transmettent un effort horizontal vers l'axe avion du fait de l'interruption du longeron arrière.
♦ Types de voilures :
Deux principes : Ailes d'une seule pièce ou deux demi-voilures fixées au fuselage.
Ailes d'une seule pièce (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Deux demi-voilures (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
♦ Liaison voilure-fuselage :
Les principes sont totalement différents selon le type de voilure :
• Ailes d'une seule pièce
- L'attache principale ne transmet que les efforts verticaux et la traînée. L'attache Arrière équilibre la torsion. Les flexions s'équilibrent directement dans le longeron.
- Attache principale : La solution la plus classique est celle du boulon traversant le longeron et un cadre du fuselage
Fixation du longeron sur le cadre principal (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
- Attache Arrière : Elle dépend essentiellement de la technologie de l'aile et du fuselage. En général, elle n'introduit dans le fuselage qu'une charge verticale due à la torsion de la voilure, notamment à l'atterrissage pour les avions à train classique.
Types d'attaches (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
• Deux demi-voilures
La flexion des ailes passe par des éléments du fuselage :
- Solution classique
Rencontrée surtout sur des fuselages à caisson central ou fuselage métallique en treillis.
Fixation de demi-voilures (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Les ferrures sont longues pour repartir les efforts dans les semelles. Elles sont souvent d'épaisseur décroissante.
- Autre solution plus rare
Sur des fuselages métalliques ou plastiques, en général biplace côte à côte.
Fixation de demi-voilures sur fuselages métalliques ou plastiques (fig. [Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
L'écartement entre les axes diminue les charges locales à introduire dans le fuselage.
Les attaches arrière sont identiques à celle d'une aile en une seule partie, mais transmettent un effort horizontal vers l'axe avion du fait de l'interruption du longeron arrière.
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